2019年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2019年全国2（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {x | x2 −5x + 6 > 0}, B = {x | x −1 < 0}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (−2, 1) C. (−3, −1) D. (3, +∞)
2. 2. 设z = −3 + 2i, 则在复平面内¯z 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. 已知# » AB = (2, 3), # » AC = (3, t), # » BC  = 1, 则# » AB · # » BC = ( ) 5分
   A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
4. 4. 2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着 陆, 我国航天事业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一 个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题, 发射了嫦 娥四号中继星“鹊桥”, 鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行. L2 点 是平衡点, 位于地月连线的延长线上. 设地球质量为M1, 月球质量为M2, 地月距离为R, L2 点到月球的距离为r, 根据牛顿运动定律和万有引力定 律, r 满足方程: M1 (R + r)2 + M2 r2 = (R + r) M1 R3 . 设α = r R, 由于α 的值很 小, 因此在近似计算中3α3 + 3α4 + α5 (1 + α)2 ≈3α3, 则r 的近似值为 ( ) (A) √M2 M1 R (B) √M2 2M1 R (C) 3 √3M2 M1 R (D) 3 √M2 3M1 R 5分
5. 5. 演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分, 得到7 个有效评分. 7 个 有效评分与9 个原始评分相比, 不变的数字特征是 ( ) 5分
   A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
6. 6. 若a > b, 则 ( ) 5分
   A. ln (a−b) > 0 B. 3a < 3b C. a3−b3 > 0 D. |a| > |b|
7. 7. 设α, β 为两个平面, 则α β 的充要条件是 ( ) 5分
   A. α 内有无数条直线与β 平行 B. α 内有两条相交直线与β 平行 C. α, β 平行于同一条直线 D. α, β 垂直于同一平面
8. 8. 若抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点是椭圆x2 3p + y2 p = 1 的一个焦点, 则 p = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
9. 9. 下列函数中, 以π 2 为周期且在区间 (π 4 , π 2 ) 单调递增的是 ( ) 5分
   A. f (x) = | cos 2x| B. f (x) = | sin 2x| C. f (x) = cos |x| D. f (x) = sin |x|
10. 10. 已知α ∈ ( 0, π 2 ) , 2 sin 2α = cos 2α + 1, 则sin α = ( ) 5 (B) √ 5 5 (C) √ 3 3 √ 5 5 5分
    A. 1 D. 2
11. 11. 设F 为双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, O 为坐标原点, 以OF 为直径的圆与圆x2 + y2 = a2 交于P, Q 两点. 若|PQ| = |OF|, 则 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (D) √ 5 5分
    C. 的离心率为 C. 2
12. 12. 设函数f (x) 的定义域为R, 满足f (x + 1) = 2f (x), 且当x ∈(0, 1] 时, 9, 则m 的取值 范围是 ( ) (A) ( −∞, 9 4 ] (B) ( −∞, 7 3 ] (C) ( −∞, 5 2 ] (D) ( −∞, 8 3 ] 5分
    F. (x) = x (x −1). 若对任意x ∈(−∞, m], 都有f (x) ⩾−8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 我国高铁发展迅速, 技术先进. 经统计, 在经停某站的高铁列车中, 有10 个 车次的正点率为0.97, 有20 个车次的正点率为0.98, 有10 个车次的正点 率为0.99, 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 5分
2. 2. 已知f (x) 是奇函数, 且当x < 0 时, f (x) = −eax. 若f (ln 2) = 8, 则 . 5分
   A. =
3. 3. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 若b = 6, a = 2c, B = π 3 , 则△ABC 的面积为 . 5分
4. 4. 中国有悠久的金石文化, 印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体, 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多 面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2 是一个棱数为48 的半正多面体, 它 的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 且此正方体的棱长为1. 则该半正 多面体共有 个面, 其棱长为 . 图1 图2 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 如图, 长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形, 点E 在棱 AA1 上, BE ⊥EC1. (1) 证明: BE ⊥平面EB1C1; (2) 若AE = A1E, 求二面角B–EC–C1 的正弦值. A B C D E A1 B1 C1 D1
2. 2. 11 分制乒乓球比赛, 每赢一球得1 分, 当某局打成10 : 10 平后, 每球交换 发球权, 先多得2 分的一方获胜, 该局比赛结束. 甲、乙两位同学进行单打 比赛, 假设甲发球时甲得分的概率为0.5, 乙发球时甲得分的概率为0.4, 各 球的结果相互独立. 在某局双方10 : 10 平后, 甲先发球, 两人又打了X 个 球该局比赛结束. (1) 求P (X = 2); (2) 求事件“X = 4 且甲获胜”的概率. 1097
3. 3. 已知数列{an} 和{bn} 满足a1 = 1, b1 = 0, 4an+1 = 3an −bn + 4, 4bn+1 = 3bn −an −4. (1) 证明: {an + bn} 是等比数列, {an −bn} 是等差数列; (2) 求{an} 和{bn} 的通项公式.
4. 4. 已知函数f (x) = ln x −x + 1 x −1. (1) 讨论f (x) 的单调性, 并证明f (x) 有且仅有两个零点; (2) 设x0 是f (x) 的一个零点, 证明曲线y = ln x 在点A (x0, ln x0) 处的 切线也是曲线y = ex 的切线.
5. 5. 已知点A (−2, 0), B (2, 0), 动点M (x, y) 满足直线AM 与BM 的斜率之 积为−1 2. 记M 的轨迹为曲线C. (1) 求C 的方程, 并说明C 是什么曲线; (2) 过坐标原点的直线交C 于P, Q 两点, 点P 在第一象限, PE ⊥x 轴, 垂足为E, 连接QE 并延长交C 于点G. ①证明: △PQG 是直角三角形; ②求△PQG 面积的最大值.
6. 6. 在极坐标系中, O 为极点, 点M (ρ0, θ0) (ρ0 > 0) 在曲线C: ρ = 4 sin θ 上, 直线l 过点A (4, 0) 且与OM 垂直, 垂足为P. (1) 当θ0 = π 3 时, 求ρ0 及l 的极坐标方程; (2) 当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时, 求P 点轨迹的极坐标方程.
7. 7. 已知f (x) = |x −a|x + |x −2| (x −a). (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) < 0 的解集; (2) 若x ∈(−∞, 1] 时, f (x) < 0, 求a 的取值范围. 1098

原卷配图（含真实几何/应用题图示）