本卷为官方高考数学真题（2019年全国3（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知集合A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | x2 ⩽1}, 则A ∩B =
(
) 5分
A. {−1, 0, 1}
B. {0, 1}
C. {−1, 1}
D. {0, 1, 2}
-
2. 若z (1 + i) = 2i, 则z =
(
) 5分
A. −1 −i
B. −1 + i
C. 1 −i
D. 1 + i
-
3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并
称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,
随机调查了100 位学生, 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有
90 位, 阅读过《红楼梦》的学生共有80 位, 阅读过《西游记》且阅读过《红
楼梦》的学生共有60 位, 则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生
总数比值的估计值为
(
) 5分
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
-
4. (1 + 2x2)(1 + x)4 的展开式中x3 的系数为
(
) 5分
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
-
5. 已知各项均为正数的等比数列{an} 的前4 项为和为15, 且a5 = 3a3+4a1,
则a3 =
(
) 5分
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
-
6. 已知曲线y = aex + x ln x 在点(1, ae) 处的切线方程为y = 2x + b, 则(
) 5分
A. a = e, b = −1
B. a = e, b = 1
C. a = e−1, b = 1
D. a = e−1, b = −1
-
7. 函数y =
2x3
2x + 2−x 在[−6, 6] 的图象大致为
(
)
(A)
x
4
8
y
O
(B)
x
4
8
y
O
(C)
x
4
8
y
O
(D)
x
4
8
y
O 5分
-
8. 如图, 点N 为正方形ABCD 的中心, △ECD 为正三角形, 平面ECD ⊥
平面ABCD, M 是线段ED 的中点, 则
(
)
N
E
A
B
C
M
D 5分
A. BM = EN, 且直线BM, EN 是相交直线
B. BM̸ = EN, 且直线BM, EN 是相交直线
C. BM = EN, 且直线BM, EN 是异面直线
D. BM̸ = EN, 且直线BM, EN 是异面直线
-
9. 执行如图的程序框图, 如果输入的ε 为0.01, 则输出s 的值等于
(
)
开始
输入ε
x = 1, s = 0
s = s + x
x = x
2
x < ε
输出s
结束
是
否
24
25
26
27 5分
A. 2 −1
B. 2 −1
C. 2 −1
D. 2 −1
-
10. 双曲线C: x2
4 −y2
2 = 1 的右焦点为F, 为点P 在C 的一条渐近线上, O
为坐标原点, 若|PO| = |PF|, 则△PFO 的面积为
(
)
√
2
4
√
2
2
√
2
√
2 5分
A. 3
B. 3
C. 2
D. 3
-
11. 设f (x) 是定义域为R 的偶函数, 且在(0, +∞) 单调递减, 则
(
)
(
log3
1
4
)
> f
(
2−3
2
)
> f
(
2−2
3
)
(
log3
1
4
)
> f
(
2−2
3
)
> f
(
2−3
2
)
(
2−3
2
)
> f
(
2−2
3
)
> f
(
log3
1
4
)
(
2−2
3
)
> f
(
2−3
2
)
> f
(
log3
1
4
) 5分
A. f
B. f
C. f
D. f
-
12. 设函数f(x) = sin
(
ωx + π
5
)
(ω > 0), 已知f(x) 在[0, 2π] 有且仅有5 个
零点. 下述四个结论：
①f(x) 在(0, 2π) 有且仅有3 个极大值点;
②f(x) 在(0, 2π) 有且仅有2 个极小值点;
③f(x) 在(0, π
10) 单调递增;
④ω 的取值范围是
[12
5 , 29
10
)
.
其中所有正确结论的编号是
(
) 5分
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
-
1. 已知a, b 为单位向量, 且a·b = 0, 若c = 2a−
√
5b, 则cos⟨a, c⟩=
. 5分
-
2. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和, 若a1̸ = 0，a2 = 3a1, 则S10
S5
=
. 5分
-
3. 设F1, F2 为椭圆C: x2
36 + y2
20 = 1 的两个焦点, M 为C 上一点且在第一
象限. 若△MF1F2 为等腰三角形, 则M 的坐标为
. 5分
-
4. 学生到工厂劳动实践, 利用3D 打印技术制作模型. 如图, 该模型为长方
体ABCD −A1B1C1D1 挖去四棱锥O−EFGH 后所得的几何体, 其中O
为长方体的中心, E, F, G, H 分别为所在棱的中点, AB = BC = 6 cm,
AA1 = 4 cm, 3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3, 不考虑打印损耗, 制作
该模型所需原料的质量为
g.
A
B
C
D
O
H
F
E
G
A1
B1
C1
D1 5分
-
1. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度, 进行如下试验: 将200 只小
鼠随机分成A, B 两组, 每组100 只, 其中A 组小鼠给服甲离子溶液, B 组
小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经
过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据
试验数据分别得到如下直方图:
频率
组距
0
百分比
1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
甲离子残留百分比直方图
0.15
0.30
0.20
0.10
0.05
频率
组距
0
百分比
b
a
2.53.54.55.56.57.58.5
乙离子残留百分比直方图
0.05
0.20
0.15
记C 为事件: “乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”, 根据直方图得到
P (C) 的估计值为0.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中a, b 的值;
(2) 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表).
1101
-
2. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知a sin A + C
2
= b sin A.
(1) 求B;
(2) 若△ABC 为锐角三角形, 且c = 1, 求△ABC 面积的取值范围.
-
3. 图1 是由矩形ADEB, Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形, 其
中AB = 1, BE = BF = 2, ∠FBC = 60◦. 将其沿AB, BC 折起使得BE
与BF 重合, 连接DG, 如图2.
(1) 证明: 图2 中的A, C, G, D 四点共面, 且平面ABC ⊥平面BCGE;
(2) 求图2 中的二面角B −CG −A 的大小.
B
图1
C
A
D
E
F
G
图2
E(F)
G
A
B
C
D
-
4. 已知函数f (x) = 2x3 −ax2 + b.
(1) 讨论f (x) 的单调性;
(2) 是否存在a, b, 使得f(x) 在区间[0, 1] 的最小值为−1 且最大值为1?
若存在, 求出a, b 的所有值; 若不存在, 说明理由.
-
5. 已知曲线C: y = x2
2 , D 为直线y = −1
2 上的动点, 过D 作C 的两条切
线, 切点分别为A, B.
(1) 证明: 直线AB 过定点;
(2) 若以E
(
0, 5
2
)
为圆心的圆与直线AB 相切, 且切点为线段AB 的中
点, 求四边形ADBE 的面积.
-
6. 如图, 在极坐标系Ox 中, A (2, 0), B
(√
2, π
4
)
, C
(√
2, 3π
4
)
, D (2, π), 弧
˜
AB, ¯
BC, ¯
CD 所在圆的圆心分别是(1, 0),
(
1, π
2
)
, (1, π), 曲线M1 是弧
˜
AB, 曲线M2 是弧¯
BC, 曲线M3 是弧¯
CD.
(1) 分别写出M1, M2, M3 的极坐标方程;
(2) 曲线M 由M1, M2, M3 构成, 若点P 在M 上, 且|OP| =
√
3, 求P
的极坐标.
O
x
C
A
D
B
•
-
7. 设x, y, z ∈R, 且x + y + z = 1.
(1) 求(x −1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 的最小值;
(2) 若(x −2)2 + (y −1)2 + (z −a)2 ⩾1
3 成立, 证明: a ⩽−3 或a ⩾−1.
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