2019年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2019年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | −1 < x < 2}, B = {x | x > 1}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (1, 2) C. (−1, +∞) D. (1, +∞)
2. 2. 已知复数z = 2 + i, 则z · z = ( ) (A) √ 3 (B) √ 5 5分
   C. 3 D. 5
3. 3. 下列函数中, 在区间(0, +∞) 上单调递增的是 ( ) 1 2 2 x x 5分
   A. y = x B. y = 2−x C. y = log 1 D. y = 1
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 值为 ( ) 开始 k = 1, s = 1 s = 2s2 3s −2 k = k + 1 k ⩾3? 输出s 结束 是 否 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 = 1 (a > 0) 的离心率是 √ 5, 则a = ( ) (A) √ 6 2 5分
   B. 4 C. 2 D. 1
6. 6. 设函数f (x) = cos x + b sin x (b 为常数), 则“b = 0”是“f (x) 为偶函数” 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 在天文学中, 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与 亮度满足m2−m1 = 5 2 lg E1 E2 , 其中星等为mk 的星的亮度为Ek (k = 1, 2). 已知太阳的星等是−26.7, 天狼星的星等是−1.45, 则太阳与天狼星的亮度 的比值为 ( ) 5分
   A. 1010.1 B. 10.1 C. lg 10.1 D. 10−10.1
8. 8. 如图, A, B 是半径为2 的圆周上的定点, P 为圆周上的动点, ∠APB 是锐 角, 大小为β. 图中阴影区域的面积的最大值为 ( ) A P B 5分
   A. 4β + 4 cos β B. 4β + 4 sin β C. 2β + 2 cos β D. 2β + 2 sin β

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = (−4, 3), b = (6, m), 且a ⊥b, 则m = . 5分
2. 2. 若x, y 满足        x ⩽2, y ⩾−1, 4x −3y + 1 ⩾0, , 则y −x 的最小值为 , 最大值 为 . 5分
3. 3. 设抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l. 则以F 为圆心, 且与l 相切的圆 的方程为 . 5分
4. 4. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得, 其三视图如图所示. 如果 网格纸上小正方形的边长为1, 那么该几何体的体积为 . 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
5. 5. 已知l, m 是平面α 外的两条不同直线. 给出下列三个论断: ①l ⊥m; ②m α; ③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出一个正确的 命题: . 5分
6. 6. 李明自主创业, 在网上经营一家水果店, 销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃, 价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒. 为增加销 量, 李明对这四种水果进行促销: 一次购买水果的总价达到120 元, 顾客就 少付x 元. 每笔订单顾客网上支付成功后, 李明会得到支付款的80%. ①当x = 10 时, 顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒, 需要支付 元; ②在促销活动中, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的 七折, 则x 的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, a = 3, b−c = 2, cos B = −1 2. (1) 求b, c 的值; (2) 求sin (B + C) 的值.
2. 2. 设{an} 是等差数列, a1 = −10, 且a2 + 10, a3 + 8, a4 + 6 成等比数列. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 记{an} 的前n 项和为Sn, 求Sn 的最小值. 1089
3. 3. 改革开放以来, 人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来, 移动支付已成为 主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月A, B 两种移动支付方式的使 用情况, 从全校所有的1000 名学生中随机抽取了100 人, 发现样本中A, 的支付金额分布情况如下: 支付方式 支付金额 不大于2000 元 大于2000 元 仅使用A 27 人 3 人 仅使用B 24 人 1 人 (1) 估计该校学生中上个月A, B 两种支付方式都使用的人数; (2) 从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人, 求该学生上个月支付金额大 于2000 元的概率; (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人, 发现他本月的支付金额大于2000 元. 结合(2) 的 结果, 能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数 有变化? 说明理由.
4. 4. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, 底部ABCD 为菱形, (1) 求证: BD ⊥平面PAC; (2) 若∠ABC = 60◦, 求证: 平面PAB ⊥平面PAE; (3) 棱PB 上是否存在点F, 使得CF 平面PAE? 说明理由. A P E B C D
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 的右焦点为(1, 0), 且经过点A (0, 1). (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设O 为原点, 直线l: y = kx + t (t̸ = ±1) 与椭圆C 交于两个不 同点P, Q, 直线AP 与x 轴交于点M, 直线AQ 与x 轴交于点N, 若 |OM| · |ON| = 2, 求证: 直线l 经过定点.
6. 6. 已知函数f (x) = 1 4x3 −x2 + x. (1) 求曲线y = f (x) 的斜率为1 的切线方程; (2) 当x ∈[−2, 4] 时, 求证: x −6 ⩽f (x) ⩽x; (3) 设F (x) = |f (x) −(x + a) | (a ∈R), 记F (x) 在区间[−2, 4] 上的最 大值为M (a). 当M (a) 最小时, 求a 的值. 1090

原卷配图（含真实几何/应用题图示）