2019年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2019年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知复数z = 2 + i, 则z · z = ( ) (A) √ 3 (B) √ 5 5分
   C. 3 D. 5
2. 2. 执行如图所示的程序框图, 输出的s 值为 ( ) 开始 k = 1, s = 1 s = 2s2 3s −2 k = k + 1 k ⩾3? 输出s 结束 是 否 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 3. 已知直线l 的参数方程为 { x = 1 + 3t, y = 2 + 4t, (t 为参数), 则点(1, 0) 到直线l 的 距离是 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4. 4. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为1 2, 则 ( ) 5分
   A. a2 = 2b2 B. 3a2 = 4b2 C. a = 2b D. 3a = 4b
5. 5. 若x, y 满足|x| ⩽1 −y, 且y ⩾−1, 则3x + y 的最大值为 ( ) 5分
   A. −7 B. 1 C. 5 D. 7
6. 6. 在天文学中, 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与 亮度满足m2−m1 = 5 2 lg E1 E2 , 其中星等为mk 的星的亮度为Ek (k = 1, 2). 已知太阳的星等是−26.7, 天狼星的星等是−1.45, 则太阳与天狼星的亮度 的比值为 ( ) 5分
   A. 1010.1 B. 10.1 C. lg 10.1 D. 10−10.1
7. 7. 设点A, B, C 不共线, 则“# » AB 与# » AC 的夹角为锐角”是“ # » AB + # » AC  > # » BC ”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线, 曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y 就 是其中之一(如图). 给出下列三个结论: ①曲线C 恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 √ 2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中, 所有正确结论的序号是 ( ) x y O 5分
   A. ① B. ② C. ①② D. ①②③

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 函数f (x) = sin2 2x 的最小正周期是 . 5分
2. 2. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a2 = −3, S5 = −10, 则a5 = , Sn 的最小值为 . 5分
3. 3. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得, 其三视图如图所示. 如果 网格纸上小正方形的边长为1, 那么该几何体的体积为 . 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
4. 4. 已知l, m 是平面α 外的两条不同直线. 给出下列三个论断: ①l ⊥m; ②m α; ③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出一个正确的 命题: . 5分
5. 5. 设函数f (x) = ex + ae−x (a 为常数). 若f (x) 为奇函数, 则a = ; 若f (x) 是R 上的增函数, 则a 的取值范围是 . 5分
6. 6. 李明自主创业, 在网上经营一家水果店, 销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃, 价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒. 为增加销 量, 李明对这四种水果进行促销: 一次购买水果的总价达到120 元, 顾客就 少付x 元. 每笔订单顾客网上支付成功后, 李明会得到支付款的80%. ①当x = 10 时, 顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒, 需要支付 元; ②在促销活动中, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的 七折, 则x 的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, a = 3, b−c = 2, cos B = −1 2. (1) 求b, c 的值; (2) 求sin (B −C) 的值.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, AD ⊥CD, AD BC, PA = AD = CD = 2, BC = 3. E 为PD 的中点, 点F 在PC 上, 且 PF PC = 1 3. (1) 求证: CD ⊥平面PAD; (2) 求二面角F −AE −P 的余弦值; (3) 设点G 在PB 上, 且PG PB = 2 3. 判断直线AG 是否在平面AEF 内, 说明理由. A P F E B C D G 1087
3. 3. 改革开放以来, 人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来, 移动支付已成为 主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月A, B 两种移动支付方式的使 用情况, 从全校学生中随机抽取了100 人, 发现样本中A, B 两种支付方式 都不使用的有5 人, 样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布 情况如下: 支付方式 支付金额(元) (0, 1000] (1000, 2000] 大于2000 仅使用A 18 人 9 人 3 人 仅使用B 10 人 14 人 1 人 (1) 从全校学生中随机抽取1 人, 估计该学生上个月A, B 两种支付方式都 使用的概率; (2) 从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人, 以X 表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数, 求X 的分布列和数学期望; (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中, 随机抽查3 人, 发现他们本月的支付金额都大于2000 元. 根据 抽查结果, 能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的 人数有变化? 说明理由.
4. 4. 已知抛物线C: x2 = −2py 经过点(2, −1). (1) 求抛物线C 的方程及其准线方程; (2) 设O 为原点, 过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M, N, 直线y = −1 分别交直线OM, ON 于点A 和点B. 求证: 以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
5. 5. 已知函数f (x) = 1 4x3 −x2 + x. (1) 求曲线y = f (x) 的斜率为1 的切线方程; (2) 当x ∈[−2, 4] 时, 求证: x −6 ⩽f (x) ⩽x; (3) 设F (x) = |f (x) −(x + a) | (a ∈R), 记F (x) 在区间[−2, 4] 上的最 大值为M (a). 当M (a) 最小时, 求a 的值.
6. 6. 已知数列{an} 从中选取第i1 项、第i2 项、· · · 、第im 项(i1 < i2 < · · · < im), 若ai1 < ai2 < · · · < aim, 则称新数列ai1, ai2, · · · , aim 为{an} 的长度为 m 的递增子列. 规定: 数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1 的递增 子列. (1) 写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9 的一个长度为4 的递增子列; (2) 已知数列{an} 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为am0, 长度为 q 的递增子列的末项的最小值为an0. 若p < q, 求证: am0 < an0; (3) 设无穷数列{an} 的各项均为正整数, 且任意两项均不相等. 若{an} 的 长度为s 的递增子列末项的最小值为2s −1, 且长度为s 末项为2s −1 的 递增子列恰有2s−1 个(s = 1, 2, · · · ), 求数列{an} 的通项公式. 1088

原卷配图（含真实几何/应用题图示）