2019年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2019年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {−1, 1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x ∈R | 1 ⩽x < 3}, 则(A ∩C) ∪B = ( ) 5分
   A. {2} B. {2, 3} C. {−1, 2, 3} D. {1, 2, 3, 4}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件              x + y −2 ⩽0, x −y + 2 ⩾0, x ⩾−1, y ⩾−1, 则目标函数z = −4x + y 的最 大值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3. 3. 设x ∈R, 则“0 < x < 5”是“|x −1| < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 输出S 的值为 ( ) 开始 i = 1, S = 0 i 为偶数? j = i 2 S = S + i · 2j i = i + 1 S = S + i i ⩾4? 输出S 结束 是 是 否 否 5分
   A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
5. 5. 已知a = log2 7, b = log3 8, c = 0.30.2, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. c < b < a B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b
6. 6. 已知抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l. 若l 与双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B, 且|AB| = 4|OF| (O 为原点), 则双曲线的离心率为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (D) √ 5 5分
   C. 2
7. 7. 已知函数f (x) = A sin (ωx + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π) 是奇函数, 且 f(x) 的最小正周期为π, 将y = f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的2 倍(纵坐标不变), 所得图象对应的函数为g (x). 若g (π 4 ) = √ 2, 则 f (3π 8 ) = ( ) √ 2 (C) √ 2 5分
   A. −2 B. − D. 2
8. 8. 已知函数f (x) =    2√x, 0 ⩽x ⩽1, 1 x, x > 1, 若关于x 的方程f (x) = −1 4x + ( ) (A) [5 4, 9 4 ] (B) (5 4, 9 4 ] (C) (5 4, 9 4 ] ∪{1} (D) [5 4, 9 4 ] ∪{1} 5分
   A. (a ∈R) 恰有两个互异的实数解, 则a 的取值范围为

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 则  5 −i 1 + i  的值为 . 5分
2. 2. 设x ∈R, 使不等式3x2 + x −2 < 0 成立的x 的取值范围为 . 5分
3. 3. 曲线y = cos x −x 2 在点(0, 1) 处的切线方程为 . 5分
4. 4. 已知四棱锥的底面是边长为 √ 2 的正方形, 侧棱长均为 √ 5. 若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点, 另一个底面的圆心为四棱锥底面 的中心, 则该圆柱的体积为 . 5分
5. 5. 设x > 0, y > 0, x + 2y = 5, 则(x + 1) (2y + 1) √xy 的最小值为 . 5分
6. 6. 在四边形ABCD 中, AD BC, AB = 2 √ 3, AD = 5, ∠A = 30◦, 点E 在 线段CB 的延长线上, 且AE = BE, 则# » BD · # » AE = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 2019 年, 我国施行个人所得税专项附加扣除办法, 涉及子女教育、继续教 育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣 除. 某单位老、中、青员工分别有72, 108, 120 人, 现采用分层抽样的方法, 从该单位上述员工中抽取25 人调查专项附加扣除的享受情况. 项目 员工 A B C D E F 子女教育 ⃝ ⃝ × ⃝ × ⃝ 继续教育 × × ⃝ × ⃝ ⃝ 大病医疗 × × × ⃝ × × 住房贷款利息 ⃝ ⃝ × × ⃝ ⃝ 住房租金 × × ⃝ × × × 赡养老人 ⃝ ⃝ × × × ⃝ (1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2) 抽取的25 人中, 享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人, 分别记为 A, B, C, D, E, F. 享受情况如表, 其中“⃝”表示享受, “×”表示不享受．现 从这6 人中随机抽取2 人接受采访. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M 为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”, 求 事件M 发生的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知b + c = 2a, 3c sin B = 4a sin C. (1) 求cos B 的值; (2) 求sin ( 2B + π 6 ) 的值.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形, △PCD 为等 边三角形, 平面PAC ⊥平面PCD, PA ⊥CD, CD = 2, AD = 3. (1) 设G, H 分别为PB, AC 的中点, 求证：GH 平面PAD; (2) 求证: PA ⊥平面PCD; (3) 求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． G H A B C D P 1109
4. 4. 设{an} 是等差数列, {bn} 是等比数列, 公比大于0, 已知a1 = b1 = 3, b2 = a3, b3 = 4a2 + 3. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设数列{cn} 满足cn = { 1, n 为奇数, 2 , n 为偶数, 求a1c1 + a2c2 + · · · + a2nc2n (n ∈N∗).
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 左顶点为A, 上顶点为B. 已知 √ 3|OA| = 2|OB| (O 为原点). (1) 求椭圆的离心率; (2) 设经过点F 且斜率为3 4 的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P, 圆 AP, 求 椭圆的方程．
6. 6. 设函数f (x) = ln x −a (x −1) ex, 其中a ∈R. (1) 若a ⩽0, 讨论f (x) 的单调性; (2) 若0 < a < 1 e, ①证明f (x) 恰有两个零点; ②设x0 为f (x) 的极值点, x1 为f (x) 的零点, 且x1 > x0, 证明 3x0 −x1 > 2. 1110

原卷配图（含真实几何/应用题图示）