2019年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2019年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = {−1, 1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x ∈R | 1 ⩽x < 3}, 则(A ∩C) ∪B = ( ) 5分
   A. {2} B. {2, 3} C. {−1, 2, 3} D. {1, 2, 3, 4}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件              x + y −2 ⩽0, x −y + 2 ⩾0, x ⩾−1, y ⩾−1, 则目标函数z = −4x + y 的最 大值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3. 3. 设x ∈R, 则“x2 −5x < 0”是“|x −1| < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 输出S 的值为 ( ) 开始 i = 1, S = 0 i 为偶数? j = i 2 S = S + i · 2j i = i + 1 S = S + i i ⩾4? 输出S 结束 是 是 否 否 5分
   A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
5. 5. 已知抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 准线为l. 若l 与双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B, 且|AB| = 4|OF| (O 为原点), 则双曲线的离心率为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (D) √ 5 5分
   C. 2
6. 6. 已知a = log5 2, b = log0.5 0.2, c = 0.50.2, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a < c < b B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b
7. 7. 已知函数f (x) = A sin (ωx + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π) 是奇函数, 将 y = f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变), 所得 图象对应的函数为g (x). 若g (x) 的最小正周期为2π, 且g (π 4 ) = √ 2, 则 f (3π 8 ) = ( ) √ 2 (C) √ 2 5分
   A. −2 B. − D. 2
8. 8. 已知a ∈R, 设函数f (x) = { x2 −2ax + 2a, x ⩽1, x −a ln x, x > 1, 若关于x 的不等式 ( ) 5分
   F. (x) ⩾0 在R 上恒成立, 则a 的取值范围为 A. [0, 1] B. [0, 2] C. [0, e] D. [1, e]

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 则  5 −i 1 + i  的值为 . 5分
2. 2. ( 2x − 1 8x3 )8 的展开式中的常数项为 . 5分
3. 3. 已知四棱锥的底面是边长为 √ 2 的正方形, 侧棱长均为 √ 5. 若圆柱的一个 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点, 另一个底面的圆心为四棱锥底面 的中心, 则该圆柱的体积为 . 5分
4. 4. 设a ∈R, 直线ax −y + 2 = 0 和圆 { x = 2 + 2 cos θ, y = 1 + 2 sin θ, (θ 为参数) 相切, 则 . 5分
   A. 的值为
5. 5. 设x > 0, y > 0, x + 2y = 5, 则(x + 1) (2y + 1) √xy 的最小值为 . 5分
6. 6. 在四边形ABCD 中, AD BC, AB = 2 √ 3, AD = 5, ∠A = 30◦, 点E 在 线段CB 的延长线上, 且AE = BE, 则# » BD · # » AE = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知b + c = 2a, 3c sin B = 4a sin C. (1) 求cos B 的值; (2) 求sin ( 2B + π 6 ) 的值.
2. 2. 设甲、乙两位同学上学期间, 每天7 : 30 之前到校的概率均为2 3. 假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响, 且任一同学每天到校情况相互独立. (1) 用X 表示甲同学上学期间的三天中7 : 30 之前到校的天数, 求随机变 量X 的分布列和数学期望; (2) 设M 为事件“上学期间的三天中, 甲同学在7 : 30 之前到校的天数比 乙同学在7 : 30 之前到校的天数恰好多2”, 求事件M 发生的概率.
3. 3. 如图, AE ⊥平面ABCD, CF AE, AD BC, AD ⊥AB, AB = AD = 1, AE = BC = 2. (1) 求证: BF 平面ADE; (2) 求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值; (3) 若二面角E −BD −F 的余弦值为1 3, 求线段CF 的长. E F A B C D 1107
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 上顶点为B. 已知椭圆的 短轴长为4, 离心率为 √ 5 5 . (1) 求椭圆的方程; (2) 设点P 在椭圆上, 且异于椭圆的上、下顶点, 点M 为直线PB 与x 轴的交点, 点N 在y 轴的负半轴上. 若|ON| = |OF| (O 为原点), 且 OP ⊥MN, 求直线PB 的斜率.
5. 5. 设{an} 是等差数列, {bn} 是等比数列. 已知a1 = 4, b1 = 6, b2 = 2a2 −2, b3 = 2a3 + 4. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设数列{cn} 满足c1 = 1, cn = { 1, 2k < n < 2k+1, bk, n = 2k, 其中k ∈N∗. ①求数列{a2n (c2n −1)} 的通项公式; ②求 2n ∑ i=1 aici (n ∈N∗).
6. 6. 设函数f (x) = ex cos x, g (x) 为f (x) 的导函数. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 当x ∈ [π 4 , π 2 ] 时, 证明f (x) + g (x) (π 2 −x ) ⩾0; (3) 设xn 为函数u (x) = f (x) −1 在区间 ( 2nπ + π 4 , 2nπ + π 2 ) 内的零点, 其中n ∈N, 证明2nπ + π 2 −xn < e−2nπ sin x0 −cos x0 . 1108

原卷配图（含真实几何/应用题图示）