2019年江苏

本卷为官方高考数学真题（2019年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 0, 1, 6}, B = {x | x > 0, x ∈R}, 则A∩B = . 5分
2. 2. 已知复数(a + 2i) (1 + i) 的实部为0, 其中i 为虚数单位, 则实数a 的值 是 . 5分
3. 3. 如图是一个算法流程图, 则输出的S 的值是 . 开始 x ←1, S ←0 S ←S + x 2 x ←x + 1 x ⩾4? 输出S 结束 Y N 5分
4. 4. 函数y = √ 7 + 6x −x2 的定义域是 . 5分
5. 5. 已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10, 则该组数据的方差是 . 5分
6. 6. 从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务, 则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是 . 5分
7. 7. 在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线x2 −y2 b2 = 1 (b > 0) 经过点(3, 4), 则 该双曲线的渐近线方程是 . 5分
8. 8. 已知数列{an} (n ∈N∗) 是等差数列, Sn 是其前n 项和. 若a2a5+a8 = 0, S9 = 27, 则S8 的值是 . 5分
9. 9. 如图, 长方体ABCD −A1B1C1D1 的体积是120, E 为CC1 的中点, 则三 棱锥E −BCD 的体积是 . A B C E D A1 B1 C1 D1 5分
10. 10. 在平面直角坐标系xOy 中, P 是曲线y = x + 4 x (x > 0) 上的一个动点, 则点P 到直线x + y = 0 的距离的最小值是 . 5分
11. 11. 在平面直角坐标系xOy 中, 点A 在曲线y = ln x 上, 且该曲线在点A 处 的切线经过点(−e, −1) (e 为自然对数的底数), 则点A 的坐标是 . 5分
12. 12. 如图, 在△ABC 中, D 是BC 的中点, E 在边AB 上, BE = 2EA, AD 与CE 交于点O. 若# » AB · # » AC = 6# » AO · # » EC, 则AB AC 的值是 . B C A D O E 5分
13. 13. 已知 tan α tan ( α + π 4 ) = −2 3, 则sin ( 2α + π 4 ) 的值是 . 5分
14. 14. 设f (x), g (x) 是定义在R 上的两个周期函数, f (x) 的周期为4, g (x) 的 周期为2, 且f (x) 是奇函数. 当x ∈(0, 2] 时, f (x) = √ 1 −(x −1)2,    k (x + 2) , 0 < x ⩽1, −1 2, 1 < x ⩽2, 其中k > 0. 若在区间(0, 9] 上, 关于x 的方程f (x) = g (x) 有8 个不同的实数根, 则k 的取值范围是 . 5分
    G. (x) =

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. (1) 若a = 3c, b = √ 2, cos B = 2 3, 求c 的值; (2) 若sin A a = cos B 2b , 求sin ( 2 ) 的值.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, D, E 分别为BC, AC 的中点, AB = BC. 求证: (1) A1B1 平面DEC1; (2) BE ⊥C1E. A B C E D A1 B1 C1
3. 3. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦 点为F1 (−1, 0), F2 (1, 0). 过F2 作x 轴的垂线l, 在x 轴的上方, l 与圆 F2: (x −1)2 + y2 = 4a2 交于点A, 与椭圆C 交于点D. 连接AF1 并延长 交圆F2 于点B, 连接BF2 交椭圆C 于点E, 连接DF1. 已知DF1 = 5 2. (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 求点E 的坐标. A B F1 F2 D l x E y O
4. 4. 如图, 一个湖的边界是圆心为O 的圆, 湖的一侧有一条直线型公路l, 湖上 有桥AB (AB 是圆O 的直径). 规划在公路l 上选两个点P, Q, 并修建两 段直线型道路PB, QA. 规划要求: 线段PB, QA 上的所有点到点O 的距 离均不小于圆O 的半径. 已知点A, B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C, D 为垂足), 测得AB = 10, AC = 6, BD = 12 (单位: 百米). (1) 若道路PB 与桥AB 垂直, 求道路PB 的长; (2) 在规划要求下, P 和Q 中能否有一个点选在D 处? 并说明理由; (3) 在规划要求下, 若道路PB 和QA 的长度均为d (单位: 百米). 求当d 最小时, P, Q 两点间的距离. A B D l C O • 1091
5. 5. 设函数f (x) = (x −a) (x −b) (x −c), a, b, c ∈R, f ′ (x) 为f (x) 的导函 数. (1) 若a = b = c, f (4) = 8, 求a 的值; (2) 若a̸ = b, b = c, 且f (x) 和f ′ (x) 的零点均在集合{−3, 1, 3} 中, 求 (3) 若a = 0, 0 < b ⩽1, c = 1, 且f (x) 的极大值为M, 求证: M ⩽4 27.
6. 6. 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M−数列”. (1) 已知等比数列{an} (n ∈N∗) 满足: a2a4 = a5, a3 −4a2 + 4a1 = 0, 求 证: 数列{an} 为“M−数列”; (2) 已知数列{bn} (n ∈N∗) 满足: b1 = 1, 1 Sn = 2 bn − 2 bn+1 , 其中Sn 为数 列bn 的前n 项和. ①求数列{bn} 的通项公式; ②设m 为正整数, 若存在“M−数列”{cn} (n ∈N∗), 对任意正整数k, 当k ⩽m 时, 都有ck ⩽bk ⩽ck+1 成立, 求m 的最大值.
7. 7. 三选二. 【A】已知矩阵A = [ 3 1 2 2 ] . (1) 求A2; (2) 求矩阵A 的特征值. 【B】在极坐标系中, 已知两点A ( 3, π 4 ) , B (√ 2, π 2 ) , 直线l 的方程为 ρ sin ( θ + π 4 ) = 3. (1) 求A, B 两点间的距离; (2) 求点B 到直线l 的距离. 【C】设x ∈R, 解不等式|x| + |2x −1| > 2.
8. 8. 设(1 + x)n = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn, n ⩾4, n ∈N∗. 已知a2 3 = 2a2a4. (1) 求n 的值; (2) 设 ( 1 + √ 3 )n = a + b √ 3, 其中a, b ∈N∗, 求a2 −3b2 的值.
9. 9. 在平面直角坐标系xOy 中, 设点集An = {(0, 0) , (1, 0) , (2, 0) , · · · , (n, 0)}, Bn = {(0, 1) , (n, 1)}, Cn = {(0, 2) , (1, 2) , (2, 2) , · · · , (n, 2)}, n ∈N∗, 令Mn = An ∪Bn ∪Cn. 从集合Mn 中任取两个不同的点, 用随机变量X 表示它们之间的距离. (1) 当n = 1 时, 求X 的概率分布; (2) 对给定的正整数n (n ⩾3), 求概率P (X ⩽n) (用n 表示). 1092

原卷配图（含真实几何/应用题图示）