2019年浙江

本卷为官方高考数学真题（2019年浙江），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {−1, 0, 1, 2, 3}, 集合A = {0, 1, 2}, B = {−1, 0, 1}, 则 ( ∁UA ) ∩B = ( ) 5分
   A. {−1} B. {0, 1} C. {−1, 2, 3} D. {−1, 0, 1, 3}
2. 2. 渐近线方程为x ± y = 0 的双曲线的离心率是 ( ) (A) √ 2 2 (C) √ 2 5分
   B. 1 D. 2
3. 3. 若实数x, y 满足约束条件        x −3y + 4 ⩾0, 3x −y −4 ⩽0, x + y ⩾0, 则z = 3x + 2y 的最大值 是 ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. 10 D. 12
4. 4. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家, 他提出的“幂势既同, 则积不容异”称 为祖暅原理, 利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体= Sh, 其中S 是 柱体的底面积, h 是柱体的高. 若某柱体的三视图如图所示(单位: cm), 则 该柱体的体积(单位: cm3) 是 ( ) 正视图 俯视图 侧视图 2 2 2 3 3 6 5分
   A. 158 B. 162 C. 182 D. 324
5. 5. 若a > 0, b > 0, 则“a + b ⩽4”是“ab ⩽4”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 在同一直角坐标系中, 函数y = 1 ax , y = loga ( x + 1 2 ) 的图象可能是 ( ) (A) x 1 y O (B) x 1 y O (C) x 1 y O (D) x 1 y O 5分
   A. > 0, 且a̸ = 1)
7. 7. 设0 < a < 1, 则随机变量X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当a 在(0, 1) 内增大时 ( ) 5分
   A. D (X) 增大 B. D (X) 减小 C. D (X) 先增大后减小 D. D (X) 先减小后增大
8. 8. 设三棱锥V −ABC 的底面是正三角形, 侧棱长均相等, P 是棱V A 上的点 (不含端点), 记直线PB 与直线AC 所成角为α, 直线PB 与平面ABC 所成角为β, 二面角P −AC −B 的平面角为γ, 则 ( ) 5分
   A. β < γ, α < γ B. β < α, β < γ C. β < α, γ < α D. α < β, γ < β
9. 9. 已知a, b ∈R, 函数f (x) =    x, x < 0, 1 3x3 −1 2 (a + 1) x2 + ax, x ⩾0, 若函数 y = f (x) −ax −b 恰有3 个零点, 则 ( ) 5分
   A. a < −1, b < 0 B. a < −1, b > 0 C. a > −1, b < 0 D. a > −1, b > 0
10. 10. 设a, b ∈R, 数列{an} 满足a1 = a, an+1 = a2 n + b, n ∈N∗, 则 ( ) 2 时, a10 > 10 4 时, a10 > 10 5分
    A. 当b = 1 B. 当b = 1 C. 当b = −2 时, a10 > 10 D. 当b = −4 时, a10 > 10

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 复数z = 1 1 + i (i 为虚数单位), 则|z| = . 5分
2. 2. 已知圆C 的圆心坐标是(0, m), 半径长是r. 若直线2x −y + 3 = 0 与圆 相切于点A (−2, −1), 则m = , r = . 5分
3. 3. 在二项式 (√ 2 + x )9 的展开式中, 常数项是 , 系数为有理数的项的 个数是 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, ∠ABC = 90◦, AB = 4, BC = 3, 点D 在线段AC 上, 若 ∠BDC = 45◦, 则BD = , cos ∠ABD = . 5分
5. 5. 已知椭圆x2 9 + y2 5 = 1 的左焦点为F, 点P 在椭圆上且在x 轴的上方, 若 线段PF 的中点在以原点O 为圆心, |OF| 为半径的圆上, 则直线PF 的 斜率是 . 5分
6. 6. 已知a ∈R, 函数f (x) = ax3 −x, 若存在t ∈R, 使得|f (t + 2) −f (t)| ⩽ 2 3, 则实数a 的最大值是 . 5分
7. 7. 已知正方形ABCD 的边长为1, 当每个λi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 取 遍±1 时, λ1 # » AB + λ2 # » BC + λ3 # » CD + λ4 # » DA + λ5 # » AC + λ6 # » BD  的最小值 是 , 最大值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 设函数f (x) = sin x, x ∈R. (1) 已知θ ∈[0, 2π), 函数f (x + θ) 是偶函数, 求θ 的值; (2) 求函数y = [ f ( x + π 12 )]2 + [ f ( x + π 4 )]2 的值域.
2. 2. 如图, 已知三棱柱ABC −A1B1C1, 平面A1ACC1 ⊥平面ABC, ∠ABC = 90◦, ∠BAC = 30◦, A1A = A1C = AC, E, F 分别是AC, A1B1 的中点. (1) 证明: EF ⊥BC; (2) 求直线EF 与平面A1BC 所成角的余弦值. E F A B C A1 B1 C1 1111
3. 3. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, a3 = 4, a4 = S3. 数列{bn} 满足: 对 每个n ∈N∗, Sn + bn, Sn+1 + bn, Sn+2 + bn 成等比数列. (1) 求数列{an}, {bn} 的通项公式; (2) 记cn = √an 2bn , n ∈N∗, 证明: c1 + c2 + · · · + cn < 2√n, n ∈N∗.
4. 4. 如图, 已知点F (1, 0) 为抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点, 过点F 的直线 交抛物线于A, B 两点, 点C 在抛物线上, 使得△ABC 的重心G 在x 轴 上, 直线AC 交x 轴于点Q, 且Q 在点F 的右侧. 记△AFG, △CQG 的 面积分别为S1, S2. (1) 求p 的值及抛物线的准线方程; (2) 求S1 S2 的最小值及此时点G 的坐标. A G Q B C F x y O
5. 5. 已知实数a̸ = 0, 设函数f (x) = a ln x + √x + 1, x > 0. (1) 当a = −3 4 时, 求函数f (x) 的单调区间; (2) 对任意x ∈ [ 1 e2 , +∞ ) 均有f (x) ⩽ √x 2a , 求a 的取值范围. 注: e = 2.71828 · · · 为自然对数的底数. 1112

原卷配图（含真实几何/应用题图示）