2020年上海

本卷为官方高考数学真题（2020年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合A = {1, 2, 4}, B = {2, 4, 5}, 则A ∩B = . 5分
2. 2. 计算: lim n→∞ n + 1 3n −1 = . 5分
3. 3. 若复数z = 1 −2i (其中i 为虚数单位), 则|z| = . 5分
4. 4. 函数f (x) = x3 的反函数为 . 5分
5. 5. 若实数x, y 满足        x + y −2 ⩾0, x + 2y −3 ⩽0, y ⩾0, 则z = y −2x 的最大值为 . 5分
6. 6. 设a, b, c, d ∈R, 若行列式  1 a b 2 c d 3 0 0  = 6, 则行列式  a b c d  = . 5分
7. 7. 设a, b ∈R, 若1, 2, a, b 这四个数的中位数为3, 平均数为4, 则 ab = . 5分
8. 8. 已知公差不为0 的等差数列{an}, 其前n 项和为Sn, 若a1 + a10 = a9, 则 S9 a10 = . 5分
9. 9. 从6 人中选出4 人去值班, 每人值班一天, 若第一天安排1 人, 第二天安 排1 人, 第三天安排2 人, 则不同安排方法的种数为 . (结果用数值 表示) 5分
10. 10. 已知椭圆Γ: x2 4 + y2 3 = 1 的右焦点为F, 点P 位于第二象限且在Γ 上, 联结PF 并延长, 交Γ 于点Q(xQ, yQ), 点Q′(xQ′, yQ′) 也在Γ 上, 且 yQ + yQ′ = 0. 若FQ′ ⊥FP, 则直线PQ 的方程为 . 5分
11. 11. 设a ∈R, 若存在定义域为R 的函数f (x) 既满足“对任意x0 ∈R, f (x0) 的值为x2 0 或x0”又满足“关于x 的方程f (x) = a 无实数解”, 则a 取值范 围是 . 5分
12. 12. 已知a1, a2, b1, b2, · · · , bk 是平面内两两互不相等的向量, 若|a1 −a2| = 1, 且|ai −bj| ∈{1, 2} (其中i = 1, 2, j = 1, 2, · · · , k), 则k 最大值 为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若a, b ∈R, 则下列不等式中, 恒成立的是 ( ) √ |ab| √ |ab| 5分
   A. a2 + b2 ⩽2ab B. a2 + b2 ⩾−2ab C. a + b ⩾2 D. a + b ⩾−2
2. 2. 直线3x + 4y + 1 = 0 的一个参数方程可以为 ( ) (A) { x = 1 + 3t, y = −1 + 4t, (t 为参数) (B) { x = 1 −3t, y = −1 + 4t, (t 为参数) (C) { x = 1 −4t, y = −1 −3t, (t 为参数) (D) { x = 1 + 4t, y = −1 −3t, (t 为参数) 5分
3. 3. 在如图所示的棱长为10 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, 一条平行于 A1C 的直线与正方体的表面交于P, Q 两点, 其中P 在侧面ADD1A1 上, 且到A1D1 的距离为3, 到AA1 的距离为2, 则点Q 所在的面是 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 5分
   A. ABCD B. ABB1A1 C. BCC1B1 D. CDD1C1
4. 4. 对于定义在R 上的函数y = f(x), 考察以下性质: p: 存在非零实数a, 使得f (x + a) < f (x) + f (a) 对任意的x ∈R 恒成 立; q1: y = f (x) 单调递减, 且f (x) 恒大于0; q2: y = f (x) 单调递增, 且存在x0 < 0, 使得f (x0) = 0. 关于上述性质, 以下判断正确的是 ( ) 5分
   A. q1, q2 都是p 的充分条件 B. q1, q2 中仅q1 是p 的充分条件 C. q1, q2 中仅q2 是p 的充分条件 D. q1, q2 都不是p 的充分条件

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图所示, 边长为1 的正方形ABCD 绕BC 边旋转后形成一个圆柱. (1) 求该圆柱表面积S; (2) 正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转π 2 到A1BCD1, 求AD1 与平面 ABCD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) B D A1 A D1 C
2. 2. 已知函数f(x) = sin ωx (ω > 0). (1) 若函数y = f(x) 的周期为4π, 求ω 及此时f(x) = 1 2 的解集; (2) 若ω = 1, 设g(x) = f 2(x) + √ 3f(−x) · f (π 2 −x ) , x ∈ [ 0, π 4 ] , 求函数 y = g(x) 值域. 1129
3. 3. 在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数 量除以时间, 车辆密度是指该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的 长度. 现定义交通流量为v = q x, 其中x 为道路密度, q 为车辆密度. 据调 查某路段的交通流量有如下规律: v =      100 −135 (1 3 ) 80 x , 0 < x < 40, −k(x −40) + 85, 40 ⩽x ⩽80, (其中k > 0). (1) 当交通流量大于95 时, 求道路密度x 的取值范围; (2) 若道路密度x = 80 时, 测得交通流量v = 50, 求车辆密度q 的最大值.
4. 4. 设b > 0. 如图所示, 在平面直角坐标系xOy 中, A(xA, yA) 是双曲线C1: x2 4 −y2 b2 = 1 和圆C2: x2 + y2 = 4 + b2 在第一象限内的交点, 曲线Γ 由 C1 中满足|x| ⩾xA 的部分和C2 中满足|x| ⩾xA 的部分构成. (1) 若xA = √ 6, 求b 的值; (2) 若b = √ 5, F1, F2 分别为Γ 与x 轴的左、右两个交点, 第一象限内的 点P 也在Γ 上, 且|PF1| = 8, 求∠F1PF2 的大小; (3) 过点S ( 0, b2 2 + 2 ) 作斜率为−b 2 的直线l. 若l 与Γ 恰有两个不同的 公共点, 记为M、N, 用b 表示# » OM · # » ON, 并求当b 变化时, # » OM · # » ON 的 取值范围. x y O A
5. 5. 对于至少有三项的有穷实数数列{an}, 若|a2 −a1| ⩽|a3 −a1| ⩽· · · ⩽ |am −a1| (其中m 为{an} 的项数), 则称具有性质P. (1) 分别判断数列3, 2, 5, 1 与数列4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质P, 并说明 理由; (2) 已知首项为1, 公比为q, 项数为10 的等比数列{an} 具有性质P, 求q 的取值范围; (3) 给定正整数m ⩾4. 设数列{an} 是1, 2, · · · , m 的一个排列, 项数为 m −1 的数列{bn} 满足bk = ak−1 (k = 1, 2, · · · , m −1), 且{an} 与{bn} 都具有性质P, 求所有满足条件的数列{an}. 1130

原卷配图（含真实几何/应用题图示）