2020年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2020年全国1（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −3x −4 < 0}, B = {−4, 1, 3, 5}, 则A ∩B =( ) 5分
   A. {−4, 1} B. {1, 5} C. {3, 5} D. {1, 3}
2. 2. 若z = 1 + 2i + i3, 则|z| = ( ) (C) √ 2 5分
   A. 0 B. 1 D. 2
3. 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面 积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) (A) √ 5 −1 4 (B) √ 5 −1 2 (C) √ 5 + 1 4 (D) √ 5 + 1 2 5分
4. 4. 设O 为正方形ABCD 的中心, 在O, A, B, C, D 中任取3 点, 则取到的 3 点共线的概率为 ( ) 5 5 2 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 4
5. 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位: ◦C) 的关系, 在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图: 10 20 30 40 0 温度/◦C 发 芽 率 20% 40% 60% 80% 100% 由此散点图, 在10 ◦C 至40 ◦C 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作 为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 ( ) 5分
   A. y = a + bx B. y = a + bx2 C. y = a + bex D. y = a + b ln x
6. 6. 已知圆x2 + y2 −6x = 0, 过点(1, 2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最 小值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 设函数f (x) = cos ( ωx + π 6 ) 在[−π, π] 的图象大致如下图, 则f (x) 的最 小正周期为 ( ) x −4π 9 −π π y O 9 6 3 2 5分
   A. 10π B. 7π C. 4π D. 3π
8. 8. 设alog34 = 2, 则4−a = ( ) 16 9 8 6 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 执行下面的程序框图, 则输出的n = ( ) 开始 输入n = 1, S = 0 S = S + n n = n + 2 S ⩽100 输出n 结束 否 是 5分
   A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
10. 10. 设{an} 是等比数列, 且a1 + a2 + a3 = 1, a2 + a3 + a4 = 2, 则 a6 + a7 + a8 = ( ) 5分
    A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
11. 11. 设F1, F2 是双曲线C: x2 −y2 3 = 1 两个焦点, O 为坐标原点, 点P 在C 上且|OP| = 2, 则△PF1F2 的面积为 ( ) 2 2 5分
    A. 7 B. 3 C. 5 D. 2
12. 12. 已知A, B, C 为球O 的球面上的三个点, ⊙O1 为△ABC 的外接圆, 若 ⊙O1 的面积为4π, AB = BC = AC = OO1, 则球O 的表面积为 ( ) 5分
    A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        2x + y −2 ⩽0, x −y −1 ⩾0, y + 1 ⩾0, 则z = x + 7y 的最大值为 . 5分
2. 2. 设向量a = (1, −1), b = (m + 1, 2m −4), 若a ⊥b, 则m = . 5分
3. 3. 曲线y = ln x + x + 1 的一条切线的斜率为2, 则该切线的方程为 . 5分
4. 4. 数列{an} 满足an+2+(−1)n an = 3n−1, 前16 项和为540, 则a1 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 某厂接受了一项加工业务, 加工出来的产品(单位: 件) 按标准分为A, B, C, D 四个等级. 加工业务约定: 对于A 级品、B 级品、C 级品, 厂家每 件分别收取加工费90 元, 50 元, 20 元; 对于D 级品, 厂家每件要赔偿原料 损失费50 元. 该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费 为25 元/件, 乙分厂加工成本费为20 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接 加工业务, 在两个分厂各试加工了100 件这种产品, 并统计了这些产品的 等级, 整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率; (2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润, 以平均利润 为依据, 厂家应选哪个分厂承接加工业务?
2. 2. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知B = 150◦. (1) 若a = √ 3c, b = 2 √ 7, 求△ABC 的面积; (2) 若sin A + √ 3 sin C = √ 2 2 , 求C. 1119
3. 3. 如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三 角形, P 为DO 上一点, ∠APC = 90◦. (1) 证明: 平面PAB ⊥平面PAC; (2) 设DO = √ 2, 圆锥的侧面积为 √ 3π, 求三棱锥P −ABC 的体积. A B O P C D
4. 4. 已知函数f (x) = ex −a (x + 2). (1) 当a = 1 时, 讨论f (x) 的单调性; (2) 若f (x) 有两个零点, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知A, B 分别为椭圆E: x2 a2 + y2 = 1 (a > 1) 的左, 右顶点, G 为E 的 上顶点, # » AG · # » GB = 8, P 为直线x = 6 上的动点, PA 与E 的另一交点为 C, PB 与E 的另一交点为D. (1) 求E 的方程; (2) 证明: 直线CD 过定点.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = cosk t, y = sink t, (t 为参数). 以 坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程 为4ρ cos θ −16ρ sin θ + 3 = 0. (1) 当k = 1 时, C1 是什么曲线? (2) 当k = 4 时, 求C1 与C2 的公共点的直角坐标.
7. 7. 已知函数f (x) = |3x + 1| −2|x −1|. (1) 画出y = f (x) 的图象; (2) 求不等式f (x) > f (x + 1) 的解集. x O 1 y 1 1120

原卷配图（含真实几何/应用题图示）