2020年全国1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2020年全国1（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若z = 1 + i, 则|z2–2z| = ( ) (C) √ 2 5分
   A. 0 B. 1 D. 2
2. 2. 设集合A = {x | x2 −4 ⩽0}, B = {x | 2x + a ⩽0}, 且A ∩B = {x | −2 ⩽x ⩽1}, 则a = ( ) 5分
   A. −4 B. −2 C. 2 D. 4
3. 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面 积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( ) (A) √ 5 −1 4 (B) √ 5 −1 2 (C) √ 5 + 1 4 (D) √ 5 + 1 2 5分
4. 4. 已知A 为抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 上一点, 点A 到C 的焦点的距离 为12, 到y 轴的距离为9, 则p = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5. 5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位: ◦C) 的关系, 在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图: 10 20 30 40 0 温度/◦C 发 芽 率 20% 40% 60% 80% 100% 由此散点图, 在10◦C 至40◦C 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为 发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 ( ) 5分
   A. y = a + bx B. y = a + bx2 C. y = a + bex D. y = a + b ln x
6. 6. 函数f (x) = x4 −2x3 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为 ( ) 5分
   A. y = −2x −1 B. y = −2x + 1 C. y = 2x −3 D. y = 2x + 1
7. 7. 设函数f (x) = cos ( ωx + π 6 ) 在[−π, π] 的图象大致如下图, 则f (x) 的最 小正周期为 ( ) x −4π 9 −π π y O 9 6 3 2 5分
   A. 10π B. 7π C. 4π D. 3π
8. 8. ( x + y2 x ) (x + y)5 的展开式中x3y3 的系数为 ( ) 5分
   A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
9. 9. 已知α ∈(0, π), 且3 cos 2α −8 cos α = 5, 则sin α = ( ) (A) √ 5 3 3 3 (D) √ 5 9 5分
   B. 2 C. 1
10. 10. 已知A, B, C 为球O 的球面上的三个点, ⊙O1 为△ABC 的外接圆. 若 ⊙O1 的面积为4π, AB = BC = AC = OO1, 则球O 的表面积为 ( ) 5分
    A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
11. 11. 已知⊙M: x2 + y2 −2x −2y −2 = 0, 直线l: 2x + y + 2 = 0, P 为l 上的 动点, 过点P 作⊙M 的切线PA, PB, 切点为A, B, 当|PM| · |AB| 最小 时, 直线AB 的方程为 ( ) 5分
    A. 2x −y −1 = 0(B) 2x + y −1 = 0(C) 2x −y + 1 = 0(D) 2x + y + 1 = 0
12. 12. 若2a + log2a = 4b + 2log4b, 则 ( ) 5分
    A. a > 2b B. a < 2b C. a > b2 D. a < b2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        2x + y −2 ⩽0, x −y −1 ⩾0, y + 1 ⩾0, 则z = x + 7y 的最大值为 . 5分
2. 2. 设a, b 为单位向量, 且|a + b| = 1, 则|a −b| = . 5分
3. 3. 已知F 为双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为C 的右 顶点, B 为C 上的点, 且BF 垂直于x 轴. 若AB 的斜率为3, 则C 的离 心率为 . 5分
4. 4. 如图, 在三棱锥P–ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = √ 3, AB ⊥AC, AB ⊥AD, ∠CAE = 30◦, 则cos ∠FCB = . A B C D(P) E(P) F(P) 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 设{an} 是公比不为1 的等比数列, a1 为a2, a3 的等差中项. (1) 求{an} 的公比; (2) 若a1 = 1, 求数列{nan} 的前n 项和.
2. 2. 如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形, P 为DO 上一点, PO = √ 6 6 DO. (1) 证明: PA ⊥平面PBC; (2) 求二面角B −PC −E 的余弦值. A B E O P C D 1117
3. 3. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下: 累计负两场者被淘 汰; 比赛前抽签决定首先比赛的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空 者进行下一场比赛, 负者下一场轮空, 直至有一人被淘汰; 当一人被淘汰后, 剩余的两人继续比赛, 直至其中一人被淘汰, 另一人最终获胜, 比赛结束. 经抽签, 甲、乙首先比赛, 丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1) 求甲连胜四场的概率; (2) 求需要进行第五场比赛的概率; (3) 求丙最终获胜的概率.
4. 4. 已知A, B 分别为椭圆E: x2 a2 + y2 = 1 (a > 1) 的左、右顶点, G 为E 的 上顶点, # » AG · # » GB = 8, P 为直线x = 6 上的动点, PA 与E 的另一交点为 C, PB 与E 的另一交点为D. (1) 求E 的方程; (2) 证明: 直线CD 过定点.
5. 5. 已知函数f (x) = ex + ax2 −x. (1) 当a = 1 时, 讨论f (x) 的单调性; (2) 当x ⩾0 时, f (x) ⩾1 2x3 + 1, 求a 的取值范围.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为 { x = cosk t, y = sink t, (t 为参数). 以 坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程 为4ρ cos θ −16ρ sin θ + 3 = 0. (1) 当k = 1 时, C1 是什么曲线? (2) 当k = 4 时, 求C1 与C2 的公共点的直角坐标.
7. 7. 已知函数f (x) = |3x + 1| −2|x −1|. (1) 画出y = f (x) 的图象; (2) 求不等式f (x) > f (x + 1) 的解集. x O 1 y 1 1118

原卷配图（含真实几何/应用题图示）