2020年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2020年全国2（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | |x| < 3, x ∈Z}, B = {x | |x| > 1, x ∈Z}, 则A ∩ ( ) 5分
   B. = A. ∅ B. {−3, −2, 2, 3} C. {−2, 0, 2} D. {−2, 2}
2. 2. (1 −i)4 = ( ) 5分
   A. −4 B. 4 C. −4i D. 4i
3. 3. 如图, 将钢琴上的12 个键依次记为a1, a2, · · · , a12. 设1 ⩽i < j < k ⩽12. 若k −j = 3 且j −i = 4, 则称ai, aj, ak 为原位大三和弦; 若k −j = 4 且j −i = 3, 则称ai, aj, ak 为原位小三和弦. 用这12 个键可以构成的原 位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 ( ) a1 a3 a5 a6 a8 a10 a12 a2 a4 a7 a9 a11 5分
   A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
4. 4. 在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成1200 份 订单的配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志 愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500 份订单未配货, 预 计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05, 志愿者每人每天能完成50 份订单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95, 则至少需要志愿者 ( ) 5分
   A. 10 名 B. 18 名 C. 24 名 D. 32 名
5. 5. 已知单位向量a, b 的夹角为60◦, 则在下列向量中, 与b 垂直的是 ( ) 5分
   A. a + 2b B. 2a + b C. a −2b D. 2a −b
6. 6. 记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和. 若a5 −a3 = 12, a6 −a4 = 24, 则 Sn an = ( ) 5分
   A. 2n −1 B. 2 −21−n C. 2 −2n−1 D. 21−n −1
7. 7. 执行下面的程序框图, 若输入的k = 0, a = 0, 则输出的k 为 ( ) 开始 输入k, a k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. = 2a + 1 A. > 10 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 8. 若过点(2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线2x −y −3 = 0 的距 离为 ( ) (A) √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 5分
   B. 2 C. 3 D. 4
9. 9. 设O 为坐标原点, 直线x = a 与双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的 两条渐近线分别交于D, E 两点. 若△ODE 的面积为8, 则C 的焦距的 最小值为 ( ) 5分
   A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10. 10. 设函数f (x) = x3 −1 x3 , 则f (x) ( ) 5分
    A. 是奇函数, 且在(0, +∞) 单调递增 B. 是奇函数, 且在(0, +∞) 单调递减 C. 是偶函数, 且在(0, +∞) 单调递增 D. 是偶函数, 且在(0, +∞) 单调递减
11. 11. 已知△ABC 是面积为9 √ 3 4 的等边三角形, 且其顶点都在球O 的球面上. 若球O 的表面积为16π, 则O 到平面ABC 的距离为 ( ) (A) √ 3 2 (D) √ 3 2 5分
    B. 3 C. 1
12. 12. 若2x −2y < 3−x −3−y, 则 ( ) 5分
    A. ln (y −x + 1) > 0 B. ln (y −x + 1) < 0 C. ln |x −y| > 0 D. ln |x −y| < 0

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若sin x = −2 3, 则cos 2x = . 5分
2. 2. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 若a1 = −2, a2 + a6 = 2, 则 S10 = . 5分
3. 3. 若x, y 满足约束条件        x + y ⩾−1, x −y ⩾−1, 2x −y ⩽1, 则z = x + 2y 的最大值是 . 5分
4. 4. 设有下列四个命题: p1: 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; p2: 过空间中任意三点有且仅有一个平面; p3: 若空间两条直线不相交, 则这两条直线平行; p4: 若直线l ⊂平面α, 直线m ⊥平面α, 则m ⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①p1 ∧p4; ②p1 ∧p2; ③¬p2 ∨p3; ④¬p3 ∨¬p4. 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos2 (π 2 + A ) +cos A = 5 4. (1) 求A; (2) 若b −c = √ 3 3 a, 证明: △ABC 是直角三角形.
2. 2. 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加. 为 调查该地区某种野生动物的数量, 将其分成面积相近的200 个地块, 从这 些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个作为样区, 调查得到样本数据 (xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20), 其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物覆盖 面积(单位: 公顷) 和这种野生动物的数量, 并计算得 20 ∑ i=1 xi = 60, 20 ∑ i=1 yi = 1200, 20 ∑ i=1 (xi −x)2 = 80, 20 ∑ i=1 (yi −y)2 = 9000, 20 ∑ i=1 (xi −x) (yi −y) = 800. (1) 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等 于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数); (2) 求样本(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 的相关系数(精确到0.01); (3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代 表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更 合理的抽样方法, 并说明理由. 附: 相关系数r = n ∑ i=1 (xi −x) (yi −y) √n ∑ i=1 (xi −x)2 n ∑ i=1 (yi −y)2 , √ 2 ≈1.414. 1123
3. 3. 已知椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点F 与抛物线C2 的焦点 重合, C1 的中心与C2 的顶点重合. 过F 且与x 轴重直的直线交C1 于 A, B 两点, 交C2 于C, D 两点, 且|CD| = 4 3|AB|. (1) 求C1 的离心率; (2) 若C1 的四个顶点到C2 的准线距离之和为12, 求C1 与C2 的标准方程.
4. 4. 如图, 已知三棱柱ABC −A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面BB1C1C 是 矩形, M, N 分别为BC, B1C1 的中点, P 为AM 上一点. 过B1C1 和P 的平面交AB 于E, 交AC 于F. (1) 证明: AA1 MN, 且平面A1AMN ⊥平面EB1C1F; (2) 设O 为△A1B1C1 的中心, 若AO = AB = 6, AO 平面EB1C1F, 且∠MPN = π 3 , 求四棱锥B −EB1C1F 的体积. A A1 B1 C1 B P O M N C E F
5. 5. 已知函数f (x) = 2 ln x + 1. (1) 若f (x) ⩽2x + c, 求c 的取值范围; (2) 设a > 0 时, 讨论函数g (x) = f (x) −f (a) x −a 的单调性.
6. 6. 已知曲线C1, C2 的参数方程分别为C1: { x = 4 cos2 θ, y = 4 sin2 θ, (θ 为参数), C2:      x = t + 1 t , y = t −1 t , (t 为参数). (1) 将C1, C2 的参数方程化为普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设C1, C2 的交 点为P, 求圆心在极轴上, 且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
7. 7. 已知函数f (x) = |x −a2| + |x −2a + 1|. (1) 当a = 2 时, 求不等式f (x) ⩾4 的解集; (2) 若f (x) ⩾4, 求a 的取值范围. 1124

原卷配图（含真实几何/应用题图示）