2020年全国2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2020年全国2（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合U = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, A = {−1, 0, 1}, B = {1, 2}, 则 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {−2, 3} B. {−2, 2, 3} C. {−2, −1, 0, 3} D. {−2, −1, 0, 2, 3}
2. 2. 若α 为第四象限角, 则 ( ) 5分
   A. cos 2α > 0 B. cos 2α < 0 C. sin 2α > 0 D. sin 2α < 0
3. 3. 在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成1200 份 订单的配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志愿 者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500 份订单未配货, 预计 第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50 份订单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95, 则至少需要志愿者 ( ) 5分
   A. 10 名 B. 18 名 C. 24 名 D. 32 名
4. 4. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所, 分上、中、下三层, 上层中心有一块 圆形石板(称为天心石), 环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环, 向外 每环依次增加9 块, 下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块, 向外每 环依次也增加9 块, 已知每层环数相同, 且下层比中层多729 块, 则三层共 有扇面形石板(不含天心石) ( ) 5分
   A. 3699 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块
5. 5. 若过点(2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线2x −y −3 = 0 的距 离为 ( ) (A) √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 5分
   B. 2 C. 3 D. 4
6. 6. 数列{an} 中, a1 = 2, am+n = aman. 若ak+1+ak+2+· · ·+ak+10 = 215−25, 则k = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 7. 如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对 应的点为M, 在俯视图中对应的点为N, 则该端点在侧视图中对应的点 为 ( ) F E G H N M 5分
   A. E B. F C. G D. H
8. 8. 设O 为坐标原点, 直线x = a 与双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的 两条渐近线分别交于D, E 两点. 若△ODE 的面积为8, 则C 的焦距的 最小值为 ( ) 5分
   A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
9. 9. 设函数f (x) = ln |2x + 1| −ln |2x −1|, 则f (x) ( ) (1 2, +∞ ) 单调递增 ( −1 2, 1 2 ) 单调递减 ( −∞, −1 2 ) 单调递增 ( −∞, −1 2 ) 单调递减 5分
   A. 是偶函数, 且在 B. 是奇函数, 且在 C. 是偶函数, 且在 D. 是奇函数, 且在
10. 10. 已知△ABC 是面积为9 √ 3 4 的等边三角形, 且其顶点都在球O 的球面上. 若球O 的表面积为16π, 则O 到平面ABC 的距离为 ( ) (A) √ 3 2 (D) √ 3 2 5分
    B. 3 C. 1
11. 11. 若2x −2y < 3−x −3−y, 则 ( ) 5分
    A. ln (y −x + 1) > 0 B. ln (y −x + 1) < 0 C. ln |x −y| > 0 D. ln |x −y| < 0
12. 12. 0 −1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列a1a2 · · · an · · · 满足 ai ∈{0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整数m, 使得ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为0 −1 周期序列, 并称满足ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小 正整数m 为这个序列的周期. 对于周期为m 的0 −1 序列a1a2 · · · an · · · , m m ∑ i=1 aiai+k (k = 1, 2, · · · , m −1) 是描述其性质的重要指标, 下 列周期为5 的0 −1 序列中, 满足C (k) ⩽1 5 (k = 1, 2, 3, 4) 的序列是( ) 5分
    C. (k) = 1 A. 11010 · · · B. 11011 · · · C. 10001 · · · D. 11001 · · ·

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知单位向量a, b 的夹角为45◦, ka −b 与a 垂直, 则k = . 5分
2. 2. 4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去1 个小区, 每 个小区至少安排1 名同学, 则不同的安排方法共有 种. 5分
3. 3. 设复数z1, z2 满足|z1| = |z2| = 2, z1 + z2 = √ 3 + i, 则|z1 −z2| = . 5分
4. 4. 设有下列四个命题: p1: 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; p2: 过空间中任意三点有且仅有一个平面; p3: 若空间两条直线不相交, 则这两条直线平行; p4: 若直线l ⊂平面α, 直线m ⊥平面α, 则m ⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是 . ①p1 ∧p4; ②p1 ∧p2; ③¬p2 ∨p3; ④¬p3 ∨¬p4. 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. △ABC 中, sin2 A −sin2 B −sin2 C = sin B sin C. (1) 求A; (2) 若BC = 3, 求△ABC 周长的最大值.
2. 2. 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加. 为 调查该地区某种野生动物数量, 将其分成面积相近的200 个地块, 从这 些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个作为样区, 调查得到样本数据 (xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20), 其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物覆盖 面积(单位: 公顷) 和这种野生动物的数量, 并计算得 20 ∑ i=1 xi = 60, 20 ∑ i=1 yi = 1200, 20 ∑ i=1 (xi −x)2 = 80, 20 ∑ i=1 (yi −y)2 = 9000, 20 ∑ i=1 (xi −x) (yi −y) = 800. (1) 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等 于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数); (2) 求样本(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 的相关系数(精确到0.01); (3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代 表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更 合理的抽样方法, 并说明理由. 附: 相关系数r = n ∑ i=1 (xi −x) (yi −y) √n ∑ i=1 (xi −x)2 n ∑ i=1 (yi −y)2 , √ 2 ≈1.414. 1121
3. 3. 已知椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点F 与抛物线C2 的焦点 重合, C1 的中心与C2 的顶点重合. 过F 且与x 轴垂直的直线交C1 于 A, B 两点, 交C2 于C, D 两点, 且|CD| = 4 3|AB|. (1) 求C1 的离心率; (2) 设M 是C1 与C2 的公共点, 若|MF| = 5, 求C1 与C2 的标准方程.
4. 4. 如图, 已知三棱柱ABC −A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面BB1C1C 是 矩形, M, N 分别为BC, B1C1 的中点, P 为AM 上一点, 过B1C1 和P 的平面交AB 于E, 交AC 于F. (1) 证明: AA1 MN, 且平面A1AMN ⊥平面EB1C1F; (2) 设O 为△A1B1C1 的中心, 若AO 平面EB1C1F, 且AO = AB, 求 直线B1E 与平面A1AMN 所成角的正弦值. A A1 B1 C1 B P O M N C E F
5. 5. 已知函数f (x) = sin2 x sin 2x. (1) 讨论f (x) 在区间(0, π) 的单调性; (2) 证明: |f (x)| ⩽3 √ 3 8 ; (3) 设n ∈N∗, 证明: sin2 x sin2 2x sin2 4x · · · sin2 2nx ⩽3n 4n .
6. 6. 已知曲线C1, C2 的参数方程分别为C1: { x = 4 cos2 θ, y = 4 sin2 θ, (θ 为参数), C2:      x = t + 1 t , y = t −1 t , (t 为参数). (1) 将C1, C2 的参数方程化为普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设C1, C2 的交 点为P, 求圆心在极轴上, 且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
7. 7. 已知函数f (x) = |x −a2| + |x −2a + 1|. (1) 当a = 2 时, 求不等式f (x) ⩾4 的解集; (2) 若f (x) ⩾4, 求a 的取值范围. 1122

原卷配图（含真实几何/应用题图示）