本卷为官方高考数学真题（2020年全国3（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, B = {x | 3 < x < 15}, 则A ∩B 中元
素的个数为
(
) 5分
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
-
2. 若z (1 + i) = 1 −i, 则z =
(
) 5分
A. 1 −i
B. 1 + i
C. −i
D. i
-
3. 设一组样本数据x1, x2, · · · , xn 的方差为0.01, 则数据10x1, 10x2, · · · ,
10xn 的方差为
(
) 5分
A. 0.01
B. 0.1
C. 1
D. 10
-
4. Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t) (t 的单位: 天) 的
Logistic 模型: I (t) =
K
1 + e−0.23(t−53) , 其中K 为最大确诊病例数.
当
I (t∗) = 0.95K 时, 标志着已初步遏制疫情, 则t∗约为(ln 19 ≈3)
(
) 5分
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
-
5. 已知sin θ + sin
(
θ + π
3
)
= 1, 则sin
(
θ + π
6
)
=
(
)
2
(B)
√
3
3
3
(D)
√
2
2 5分
A. 1
C. 2
-
6. 在平面内, A, B 是两个定点, C 是动点. 若# »
AC · # »
BC = 1, 则点C 的轨迹
为
(
) 5分
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 直线
-
7. 设O 为坐标原点, 直线x = 2 与抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 交于D, E
两点. 若OD ⊥OE, 则C 的焦点坐标为
(
)
(A)
(1
4, 0
)
(B)
(1
2, 0
) 5分
C. (1, 0)
D. (2, 0)
-
8. 点(0, −1) 到直线y = k (x + 1) 距离的最大值为
(
)
(B)
√
2
(C)
√
3 5分
A. 1
D. 2
-
9. 下图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积是
(
)
2
2
2
√
2
√
2
√
3
√
3 5分
A. 6 + 4
B. 4 + 4
C. 6 + 2
D. 4 + 2
-
10. 设a = log32, b = log53, c = 2
3, 则
(
) 5分
A. a < c < b
B. a < b < c
C. b < c < a
D. c < a < b
-
11. 在△ABC 中, cos C = 2
3, AC = 4, BC = 3, 则tan B =
(
)
(A)
√
5
√
5
√
5
√
5 5分
B. 2
C. 4
D. 8
-
12. 已知函数f (x) = sin x +
1
sin x, 则
(
)
2 对称 5分
A. f (x) 的最小值为2
B. f (x) 的图象关于y 轴对称
C. f (x) 的图象关于直线x = π 对称
D. f (x) 的图象关于直线x = π
-
1. 设等比数列{an} 满足a1 + a2 = 4, a3 −a1 = 8.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 记Sn 为数列{log3an} 的前n 项和. 若Sm + Sm+1 = Sm+3, 求m.
-
2. 某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某
公园锻炼的人次, 整理数据得到下表(单位: 天):
空气质量等级
锻炼人次
[0, 200]
(200, 400]
(400, 600]
1 (优)
2
16
25
2 (良)
5
10
12
3 (轻度污染)
6
7
8
4 (中度污染)
7
2
0
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4 的概率;
(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表);
(3) 若某天的空气质量等级为1 或2, 则称这天“空气质量好”; 若某天的空
气质量等级为3 或4, 则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据, 完成下面
的2 × 2 列联表, 并根据列联表, 判断是否有95% 的把握认为一天中到该
公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次⩽400
人次> 400
空气质量好
空气质量不好
附: K2 =
n (ad −bc)2
P (K2 ⩾k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
1127
-
3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, 点E, F 分别在棱DD1, BB1 上,
且2DE = ED1, BF = 2FB1. 证明:
(1) 当AB = BC 时, EF ⊥AC;
(2) 点C1 在平面AEF 内.
B1
C1
A1
D1
D
B
C
A
E
F
-
4. 已知函数f (x) = x3 −kx + k2.
(1) 讨论f (x) 的单调性;
(2) 若f (x) 有三个零点, 求k 的取值范围.
-
5. 已知椭圆C: x2
25 + y2
m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为
√
15
4 , A, B 分别为C
的左、右顶点.
(1) 求C 的方程;
(2) 若点P 在C 上, 点Q 在直线x = 6 上, 且|BP| = |BQ|, BP ⊥BQ,
求△APQ 的面积.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为
{
x = 2 −t −t2,
y = 2 −3t + t2,
(t 为参数
且t̸ = 1), C 与坐标轴交于A, B 两点.
(1) 求|AB|;
(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线AB 的极
坐标方程.
-
7. 设a, b, c ∈R, a + b + c = 0, abc = 1.
(1) 证明: ab + bc + ca < 0;
(2) 用max {a, b, c} 表示a, b, c 中的最大值, 证明: max {a, b, c} ⩾
3√
4.
1128
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