2020年全国3（理科）

本卷为官方高考数学真题（2020年全国3（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {(x, y) | x, y ∈N∗, y ⩾x}, B = {(x, y) | x + y = 8}, 则 ( ) 5分
   A. ∩B 中元素的个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 2. 复数 1 1 −3i 的虚部是 ( ) 10 10 10 10 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
3. 3. 在一组样本数据中, 1, 2, 3, 4 出现的频率分别为p1, p2, p3, p4, 且 4 ∑ i=1 pi = 1, 则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是 ( ) 5分
   A. p1 = p4 = 0.1, p2 = p3 = 0.4 B. p1 = p4 = 0.4, p2 = p3 = 0.1 C. p1 = p4 = 0.2, p2 = p3 = 0.3 D. p1 = p4 = 0.3, p2 = p3 = 0.2
4. 4. Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据 公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t) (t 的单位: 天) 的 Logistic 模型: I (t) = K 1 + e−0.23(t−53) , 其中K 为最大确诊病例数. 当 I (t∗) = 0.95K 时, 标志着已初步遏制疫情, 则t∗约为(ln 19 ≈3) ( ) 5分
   A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5. 5. 设O 为坐标原点, 直线x = 2 与抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 交于D, E 两点. 若OD ⊥OE, 则C 的焦点坐标为 ( ) (A) (1 4, 0 ) (B) (1 2, 0 ) 5分
   C. (1, 0) D. (2, 0)
6. 6. 已知向量a, b 满足|a| = 5, |b| = 6, a · b = −6, 则cos ⟨a, a + b⟩= ( ) 35 35 35 35 5分
   A. −31 B. −19 C. 17 D. 19
7. 7. 在△ABC 中, cos C = 2 3, AC = 4, BC = 3, 则cos B = ( ) 9 3 2 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
8. 8. 下图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积是 ( ) 2 2 2 √ 2 √ 2 √ 3 √ 3 5分
   A. 6 + 4 B. 4 + 4 C. 6 + 2 D. 4 + 2
9. 9. 已知2 tan θ −tan ( θ + π 4 ) = 7, 则tan θ = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
10. 10. 若直线l 与曲线y = √x 和x2 + y2 = 1 5 都相切, 则l 的方程为 ( ) 2 2x + 1 2x + 1 2 5分
    A. y = 2x + 1 B. y = 2x + 1 C. y = 1 D. y = 1
11. 11. 设双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 离 心率为 √ 5. P 是C 上一点, 且F1P ⊥F2P. 若△PF1F2 的面积为4, 则 ( ) 5分
    A. = A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12. 12. 已知55 < 84, 134 < 85. 设a = log5 3, b = log8 5, c = log13 8, 则 ( ) 5分
    A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. c < a < b

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        x + y ⩾0, 2x −y ⩾0, x ⩽1, 则z = 3x + 2y 的最大值为 . 5分
2. 2. ( x2 + 2 x )6 的展开式中常数项是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 已知圆锥的底面半径为1, 母线长为3, 则该圆锥内半径最大的球的体积 为 . 5分
4. 4. 关于函数f (x) = sin x + 1 sin x 有如下四个命题: ①f (x) 的图象关于y 轴对称; ②f (x) 的图象关于原点对称; ③f (x) 的图象关于直线x = π 2 对称; ④f (x) 的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 设数列{an} 满足a1 = 3, an+1 = 3an −4n. (1) 计算a2, a3, 猜想{an} 的通项公式并加以证明; (2) 求数列{2nan} 的前n 项和Sn.
2. 2. 某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某 公园锻炼的人次, 整理数据得到下表(单位: 天): 空气质量等级 锻炼人次 [0, 200] (200, 400] (400, 600] 1 (优) 2 16 25 2 (良) 5 10 12 3 (轻度污染) 6 7 8 4 (中度污染) 7 2 0 (1) 分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4 的概率; (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表); (3) 若某天的空气质量等级为1 或2, 则称这天“空气质量好”; 若某天的空 气质量等级为3 或4, 则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据, 完成下面 的2 × 2 列联表, 并根据列联表, 判断是否有95% 的把握认为一天中到该 公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 人次⩽400 人次> 400 空气质量好 空气质量不好 附: K2 = n (ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1125
3. 3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, 点E, F 分别在棱DD1, BB1 上, 且2DE = ED1, BF = 2FB1. (1) 证明: 点C1 在平面AEF 内; (2) 若AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角A −EF −A1 的正弦值. B1 C1 A1 D1 D E F B C A
4. 4. 已知椭圆C: x2 25 + y2 m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 √ 15 4 , A, B 分别为C 的左、右顶点. (1) 求C 的方程; (2) 若点P 在C 上, 点Q 在直线x = 6 上, 且|BP| = |BQ|, BP ⊥BQ, 求△APQ 的面积.
5. 5. 设函数f (x) = x3 + bx + c, 曲线y = f (x) 在点 (1 2, f (1 2 )) 处的切线与 y 轴垂直. (1) 求b; (2) 若f (x) 有一个绝对值不大于1 的零点, 证明: f (x) 所有零点的绝对 值都不大于1.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为 { x = 2 −t −t2, y = 2 −3t + t2, (t 为参数 且t̸ = 1), C 与坐标轴交于A, B 两点. (1) 求|AB|; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线AB 的极 坐标方程.
7. 7. 设a, b, c ∈R, a + b + c = 0, abc = 1. (1) 证明: ab + bc + ca < 0; (2) 用max {a, b, c} 表示a, b, c 中的最大值, 证明: max {a, b, c} ⩾ 3√ 4. 1126

原卷配图（含真实几何/应用题图示）