2020年北京

本卷为官方高考数学真题（2020年北京），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−1, 0, 1} B. {0, 1} C. {−1, 1, 2} D. {1, 2}
2. 2. 在复平面内, 复数z 对应的点的坐标是(1, 2), 则i · z = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. −2 + i C. 1 −2i D. −2 −i
3. 3. 在(√x −2) 5 的展开式中, x2 的系数为 ( ) 5分
   A. −5 B. 5 C. −10 D. 10
4. 4. 某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为( ) 俯视图 正(主) 视图 侧(左) 视图 2 1 1 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 5分
   A. 6 + B. 6 + 2 C. 12 + D. 12 + 2
5. 5. 已知半径为1 的圆经过点(3, 4), 则其圆心到原点的距离的最小值为 ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 6. 已知函数f (x) = 2x −x −1, 则不等式f (x) > 0 的解集是 ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (−∞, −1) ∪(1, +∞) C. (0, 1) D. (−∞, 0) ∪(1, +∞)
7. 7. 设抛物线的顶点为O, 焦点为F, 准线为l. P 是抛物线上异于O 的一点, 过P 作PQ ⊥l 于Q, 则线段FQ 的垂直平分线 ( ) 5分
   A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP
8. 8. 在等差数列{an} 中, a1 = −9, a3 = −1. 记Tn = a1a2 · · · an (n = 1, 2, · · · ), 则数列{Tn} ( ) 5分
   A. 有最大项, 有最小项 B. 有最大项, 无最小项 C. 无最大项, 有最小项 D. 无最大项, 无最小项
9. 9. 已知α, β ∈R, 则“存在k ∈Z 使得α = kπ + (−1)k β”是“sin α = sin β” 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 10. 2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日(π Day). 历史上, 求圆周率π 的方法有多种, 与中国传统数学中的“割圆术”相似. 数学家阿尔· 卡西的方 法是: 当正整数n 充分大时, 计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切 正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形) 的周长, 将它们的算术平均数 作为2π 的近似值. 按照阿尔· 卡西的方法, π 的近似值的表达式是 ( ) ( sin 30◦ n + tan 30◦ n ) ( sin 30◦ n + tan 30◦ n ) ( sin 60◦ n + tan 60◦ n ) ( sin 60◦ n + tan 60◦ n ) 5分
    A. 3n B. 6n C. 3n D. 6n

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 函数f (x) = 1 x + 1 + ln x 的定义域是 . 5分
2. 2. 已知双曲线C: x2 6 −y2 3 = 1, 则C 的右焦点的坐标为 ; C 的焦点到 其渐近线的距离是 . 5分
3. 3. 已知正方形ABCD 的边长为2, 点P 满足# » AP = 1 2 (# » AB + # » AC ) , 则 # » PD  = ; # » PB · # » PD = . 5分
4. 4. 若函数f (x) = sin (x + φ) + cos x 的最大值为2, 则常数φ 的一个取值 为 . 5分
5. 5. 为满足人民对美好生活的向往, 环保部门要求相关企业加强污水治理, 排 放未达标的企业要限期整改. 设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为 W = f (t), 用−f (b) −f (a) 的大小评价在[a, b] 这段时间内企业污水治 理能力的强弱, 已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如 图所示. t W O 污水达标排放量 甲企业 乙企业 甲企业 乙企业 t1 t2 t3 给出下列四个结论: ①在[t1, t2] 这段时间内, 甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t2 时刻, 甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t3 时刻, 甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在[0, t1], [t1, t2], [t2, t3] 这三段时间中, 在[0, t1] 的污水治理能力 最强. 其中所有正确结论的序号是 . 5分
   B. −a

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 为BB1 的中点. (1) 求证: BC1 平面AD1E; (2) 求直线AA1 与平面AD1E 所成角的正弦值. D C E B A D1 C1 B1 A1
2. 2. 在△ABC 中, a + b = 11, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作 为己知, 求: (1) a 的值; (2) sin C 和△ABC 的面积. 条件①: c = 7, cos A = −1 7; 条件②: cos A = 1 8, cos B = 9 16. 1113
3. 3. 某校为举办甲、乙两项不同活动, 分别设计了相应的活动方案: 方案一、方 案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持, 对学生进行简单随机抽样, 获 得数据如下表: 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1) 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率; (2) 从该校全体男生中随机抽取2 人, 全体女生中随机抽取1 人, 估计这3 人中恰有2 人支持方案一的概率; (3) 将该校学生支持方案的概率估计值记为p0, 假设该校年级有500 名男 生和300 名女生, 除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1, 试比较p0 与p1 的大小. (结论不要求证明)
4. 4. 已知函数f (x) = 12 −x2. (1) 求曲线y = f (x) 的斜率等于−2 的切线方程; (2) 设曲线y = f (x) 在点(t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面 积为S (t), 求S (t) 的最小值.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 过点A (−2, −1), 且a = 2b. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 过点B (−4, 0) 的直线l 交椭圆C 于点M, N, 直线MA, NA 分别交 直线x = −4 于点P, Q. 求|PB| |BQ| 的值.
6. 6. 已知{an} 是无穷数列. 给出两个性质: ①对于{an} 中任意两项ai, aj (i > j), 在{an} 中都存在一项am, 使 a2 i aj = am; ②对于{an} 中任意项an (n ⩾3), 在{an} 中都存在两项ak, al (k > l), 使得an = a2 k al . (1) 若an = n (n = 1, 2, · · · ), 判断数列{an} 是否满足性质①, 说明理由; (2) 若an = 2n−1 (n = 1, 2, · · · ), 判断数列{an} 是否同时满足性质①和 性质②, 说明理由; (3) 若{an} 是递增数列, 且同时满足性质①和性质②, 证明: {an} 为等比 数列. 1114

原卷配图（含真实几何/应用题图示）