2020年天津

本卷为官方高考数学真题（2020年天津），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 设全集U = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, 集合A = {−1, 0, 1, 2}, B = {−3, 0, 2, 3}, 则A ∩ ( ∁UB ) = ( ) 5分
   A. {−3, 3} B. {0, 2} C. {−1, 1} D. {−3, −2, −1, 1, 3}
2. 2. 设a ∈R, 则“a > 1”是“a2 > a”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 函数y = 4x x2 + 1 的图象大致为 ( ) (A) x 1 2 y O (B) x 1 2 y O (C) x 1 2 y O (D) x 1 2 y O 5分
4. 4. 从一批零件中抽取80 个, 测量其直径(单位: mm), 将所得数据分为9 组: [5.31, 5.33), [5.33, 5.35), · · · , [5.45, 5.47), [5.47, 5.49], 并整理得到如下 频率分布直方图, 则在被抽取的零件中, 直径落在区间[5.43, 5.47) 内的个 数为 ( ) 频率 组距 0 直径/mm 1.25 3.75 2.50 7.50 10.00 8.75 6.25 5.00 5.31 5.33 5.35 5.37 5.39 5.41 5.43 5.45 5.47 5.49 5分
   A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5. 5. 若棱长为2 √ 3 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( ) 5分
   A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π
6. 6. 设a = 30.7, b = (1 3 )−0.8 , c = log0.7 0.8, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a < b < c B. b < a < c C. b < c < a D. c < a < b
7. 7. 设双曲线C 的方程为x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0), 过抛物线y2 = 4x 的 焦点和点(0, b) 的直线为l. 若C 的一条渐近线与l 平行, 另一条渐近线与 l 垂直, 则双曲线C 的方程为 ( ) 4 −y2 4 = 1 (B) x2 −y2 4 = 1 4 −y2 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2 −y2 = 1
8. 8. 已知函数f (x) = sin ( x + π 3 ) . 给出下列结论: ①f (x) 的最小正周期为2π; ②f (π 2 ) 是f (x) 的最大值; ③把函数y = sin x 的图象上所有点向左平移π 3 个单位长度, 可得到函数 y = f (x) 的图象. 其中所有正确结论的序号是 ( ) 5分
   A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 9. 已知函数f (x) = { x3, x ⩾0, −x, x < 0. 若函数g (x) = f (x)−|kx2 −2x| (k ∈R) 恰有4 个零点, 则k 的取值范围是 ( ) (A) ( −∞, −1 2 ) ∪ ( 2 √ 2, +∞ ) (B) ( −∞, −1 2 ) ∪ ( 0, 2 √ 2 ) ( 0, 2 √ 2 ) ( 2 √ 2, +∞ ) 5分
   C. (−∞, 0) ∪ D. (−∞, 0) ∪

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数8 −i 2 + i = . 5分
2. 2. 在 ( x + 2 x2 )5 的展开式中, x2 的系数是 . 5分
3. 3. 已知直线x − √ 3y + 8 = 0 和圆x2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于A, B 两点. 若|AB| = 6, 则r 的值为 . 5分
4. 4. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2 和1 3. 假定两球是否落入盒子互 不影响, 则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ; 甲、乙两球至少有一个 落入盒子的概率为 . 5分
5. 5. 已知a > 0, b > 0, 且ab = 1, 则1 2a + 1 2b + 8 . 5分
   A. + b 的最小值为
6. 6. 如图, 在四边形ABCD 中, ∠B = 60◦, AB = 3, BC = 6, 且# » AD = λ# » BC, # » AD · # » AB = −3 2, 则实数λ 的值为 , 若M, N 是线段BC 上的动点, 且 # » MN  = 1, 则# » DM · # » DN 的最小值为 . A B C D M N 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = 2 √ 2, b = 5, √ 13. (1) 求角C 的大小; (2) 求sin A 的值; (3) 求sin ( 2A + π 4 ) 的值.
2. 2. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, CC1 ⊥平面ABC, AC ⊥BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点D, E 分别在棱AA1 和棱CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱A1B1 的中点. (1) 求证: C1M ⊥B1D; (2) 求二面角B −B1E −D 的正弦值; (3) 求直线AB 与平面DB1E 所成角的正弦值. A B C E M D A1 B1 C1 1131
3. 3. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为A (0, −3), 右焦点为F, 且|OA| = |OF|, 其中O 为原点. (1) 求椭圆方程; (2) 已知点C 满足3# » OC = # » OF, 点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点), 直 线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P, 且P 为线段AB 的中点. 求直线 AB 的方程.
4. 4. 已知{an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5 (a4 −a3), b5 = 4 (b4 −b3). (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 记{an} 的前n 项和为Sn, 求证: SnSn+2 < S2 n+1 (n ∈N∗); (3) 对任意的正整数n, 设cn =        (3an −2) bn anan+2 , n 为奇数, an−1 bn+1 , n 为偶数. 求数列{cn} 的前2n 项和.
5. 5. 已知函数f (x) = x3 + k ln x (k ∈R), f ′ (x) 为f (x) 的导函数. (1) 当k = 6 时, ①求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; ②求函数g (x) = f (x) −f ′ (x) + 9 x 的单调区间和极值; (2) 当k ⩾−3 时, 求证: 对任意的x1, x2 ∈[1, +∞), 且x1 > x2, 有 2 > f (x1) −f (x2) x1 −x2 . 1132

原卷配图（含真实几何/应用题图示）