2020年新高考1

本卷为官方高考数学真题（2020年新高考1），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {x | 1 ⩽x ⩽3}, B = {x | 2 < x < 4}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. {x | 2 < x ⩽3} B. {x | 2 ⩽x ⩽3} C. {x | 1 ⩽x < 4} D. {x | 1 < x < 4}
2. 2. 2 −i 1 + 2i = ( ) 5分
   A. 1 B. −1 C. i D. −i
3. 3. 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去1 个场馆, 甲场馆 安排1 名, 乙场馆安排2 名, 丙场馆安排3 名, 则不同的安排方法共有( ) 5分
   A. 120 种 B. 90 种 C. 60 种 D. 30 种
4. 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面 的影子来测定时间. 把地球看成一个球(球心记为O), 地球上一点A 的纬 度是指OA 与地球赤道所在平面所成角, 点A 处的水平面是指过点A 且 与OA 垂直的平面. 在点A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点A 处的纬度为北纬40◦, 则晷针与点A 处的水平面所成角为 ( ) 5分
   A. 20◦ B. 40◦ C. 50◦ D. 90◦
5. 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有96% 的学生喜欢足球或游泳, 60% 的学生喜欢足球, 82% 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜 欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( ) 5分
   A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
6. 6. 基本再生数R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生 数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均 时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I (t) = ert 描述累计感 染病例数I (t) 随时间t (单位: 天) 的变化规律, 指数增长率r 与R0, T 近 似满足R0 = 1 + rT. 有学者基于已有数据估计出R0 = 3.28, T = 6. 据 此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为 (ln 2 ≈0.69) ( ) 5分
   A. 1.2 天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5 天
7. 7. 已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点, 则# » AP · # » AB 的取值 范围是 ( ) 5分
   A. (−2, 6) B. (−6, 2) C. (−2, 4) D. (−4, 6)
8. 8. 若定义在R 的奇函数f (x) 在(−∞, 0) 单调递减, 且f (2) = 0, 则满足 xf (x −1) ⩾0 的x 的取值范围是 ( ) 二、多选题 5分
   A. [−1, 1] ∪[3, +∞) B. [−3, −1] ∪[0, 1] C. [−1, 0] ∪[1, +∞) D. [−1, 0] ∪[1, 3]
9. 9. 已知曲线C: mx2 + ny2 = 1 ( ) √ −m n x 5分
   A. 若m > n > 0, 则C 是椭圆, 其焦点在y 轴上 B. 若m = n > 0, 则C 是圆, 其半径为√n C. 若mn < 0, 则C 是双曲线, 其渐近线方程为y = ± D. 若m = 0, n > 0, 则C 是两条直线
10. 10. 下图是函数y = sin (ωx + φ) 的部分图象, 则sin (ωx + φ) = ( ) x π 6 2π 3 1 y O ( x + π 3 ) (π 3 −2x ) ( 2x + π 6 ) (5π 6 −2x ) 5分
    A. sin B. sin C. cos D. cos
11. 11. 已知a > 0, b > 0, 且a + b = 1, 则 ( ) 2 2 √ √ 2 5分
    A. a2 + b2 ⩾1 B. 2a−b > 1 C. log2 a + log2 b ⩾−2 D. √a + B. ⩽
12. 12. 信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量X 所有可能的取值为1, 2, · · · , n, 且P (X = i) = pi > 0 (i = 1, 2, · · · , n), n ∑ i=1 pi = 1, 定义X 的 信息熵H (X) = − n ∑ i=1 pi log2 pi. ( ) n (i = 1, 2, · · · , n), 则H (X) 随着n 的增大而增大 所有可能的取值为1, 2, · · · , m, 且 P (Y = j) = pj + p2m+1−j (j = 1, 2, · · · , m), 则H (X) ⩽H (Y ) 5分
    A. 若n = 1, 则H (X) = 0 B. 若n = 2, 则H (X) 随着p1 的增大而增大 C. 若pi = 1 D. 若n = 2m, 随机变量Y

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 斜率为 √ 3 的直线过抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 且与C 交于A, B 两点, 则|AB| = . 5分
2. 2. 将数列{2n −1} 与{3n −2} 的公共项从小到大排列得到数列{an}, 则 {an} 的前n 项和为 . 5分
3. 3. 某中学开展劳动实习, 学生加工制作零件, 零件的截面如图所示. O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心, A 是圆弧AB 与直线AG 的切点, B 是 圆弧AB 与直线BC 的切点, 四边形DEFG 为矩形, BC ⊥DG, 垂足 为C, tan ∠ODC = 3 5, BH DG, EF = 12 cm, DE = 2 cm, A 到直线 DE 和EF 的距离均为7 cm, 圆孔半径为1 cm, 则图中阴影部分的面积 为 cm2. A B C D O H E F G 5分
4. 4. 已知直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的棱长均为2, ∠BAD = 60◦. 以D1 为球心, √ 5 为半径的球面与侧面BCC1B1 的交线长为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在①ac = √ 3, ②c sin A = 3, ③c = √ 3b 这三个条件中任选一个, 补充在 下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求c 的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由. 问题: 是否存在△ABC, 它的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且 sin A = √ 3 sin B, C = π 6 , ?
2. 2. 已知公比大于1 的等比数列{an} 满足a2 + a4 = 20, a3 = 8. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 记bm 为{an} 在区间(0, m] (m ∈N∗) 中的项的个数, 求数列{bm} 的 前100 项和S100. 1133
3. 3. 为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了100 天空气中的PM2.5 和SO2 浓度(单位: µg/m3), 得下表: PM2.5 SO2 [0, 50] (50, 150] (150, 475] [0, 35] 32 18 4 (35, 75] 6 8 12 (75, 115] 3 7 10 (1) 估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率; (2) 根据所给数据, 完成下面的2 × 2 列联表: PM2.5 SO2 [0, 150] (150, 475] [0, 75] (75, 115] (3) 根据(2) 中的列联表, 判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关? 附: K2 = n (ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 的底面为正方形, PD ⊥底面ABCD. 设平面 PAD 与平面PBC 的交线为l. (1) 证明: l ⊥平面PDC; (2) 已知PD = AD = 1, Q 为l 上的点, 求PB 与平面QCD 所成角的正 弦值的最大值. A P B C D
5. 5. 已知函数f (x) = aex−1 −ln x + ln a. (1) 当a = e 时, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成 的三角形的面积; (2) 若f (x) ⩾1, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 且过点A (2, 1). (1) 求C 的方程; (2) 点M, N 在C 上, 且AM ⊥AN, AD ⊥MN, D 为垂足. 证明: 存在 定点Q, 使得|DQ| 为定值. 1134

原卷配图（含真实几何/应用题图示）