2020年新高考2

本卷为官方高考数学真题（2020年新高考2），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 5, 8}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {1, 8} B. {2, 5} C. {2, 3, 5} D. {1, 2, 3, 5, 8}
2. 2. (1 + 2i) (2 + i) = ( ) 5分
   A. −5i B. 5i C. −5 D. 5
3. 3. 若D 为△ABC 的边AB 的中点, 则# » CB = ( ) CD −# » CA CA −# » CD CD + # » CA CA + # » CD 5分
   A. 2# » B. 2# » C. 2# » D. 2# »
4. 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器, 利用与晷面垂直的晷针投射到晷面 的影子来测定时间. 把地球看成一个球(球心记为O), 地球上一点A 的纬 度是指OA 与地球赤道所在平面所成角, 点A 处的水平面是指过点A 且 与OA 垂直的平面. 在点A 处放置一个日晷, 若晷面与赤道所在平面平行, 点A 处的纬度为北纬40◦, 则晷针与点A 处的水平面所成角为 ( ) 5分
   A. 20◦ B. 40◦ C. 50◦ D. 90◦
5. 5. 某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有96% 的学生喜欢足球或游泳, 60% 的学生喜欢足球, 82% 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜 欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( ) 5分
   A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
6. 6. 3 名大学生利用假期到2 个山村参加扶贫工作, 每名大学生只去1 个村, 每 个村至少1 人, 则不同的分配方案共有 ( ) 5分
   A. 4 种 B. 5 种 C. 6 种 D. 8 种
7. 7. 已知函数f (x) = lg (x2 −4x −5) 在(a, +∞) 单调递增, 则a 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1] B. (−∞, 2] C. [2, +∞) D. [5, +∞)
8. 8. 若定义在R 的奇函数f(x) 在(−∞, 0) 单调递减, 且f (2) = 0, 则满足 xf (x −1) ⩾0 的x 的取值范围是 ( ) 二、多选题 5分
   A. [−1, 1] ∪[3, +∞) B. [−3, −1] ∪[0, 1] C. [−1, 0] ∪[1, +∞) D. [−1, 0] ∪[1, 3]
9. 9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化, 各地有序推进复工复产, 下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图, 下列说法正确的是 ( ) 天数 指数 复产 •复工 78% 80% 82% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 • • • • • • • • • • • 5分
   A. 这11 天复工指数和复产指数均逐日增加 B. 这11 天期间, 复产指数增量大于复工指数的增量 C. 第3 天至第11 天复工复产指数均超过80% D. 第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量
10. 10. 已知曲线C: mx2 + ny2 = 1 ( ) √ −m n x 5分
    A. 若m > n > 0, 则C 是椭圆, 其焦点在y 轴上 B. 若m = n > 0, 则C 是圆, 其半径为√n C. 若mn < 0, 则C 是双曲线, 其渐近线方程为y = ± D. 若m = 0, n > 0, 则C 是两条直线
11. 11. 下图是函数y = sin (ωx + φ) 的部分图象, 则sin (ωx + φ) = ( ) x π 6 2π 3 1 y O ( x + π 3 ) (π 3 −2x ) ( 2x + π 6 ) (5π 6 −2x ) 5分
    A. sin B. sin C. cos D. cos
12. 12. 已知a > 0, b > 0, 且a + b = 1, 则 ( ) 2 2 √ √ 2 5分
    A. a2 + b2 ⩾1 B. 2a−b > 1 C. log2a + log2b ⩾−2 D. √a + B. ⩽

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, M, N 分别为棱BB1, AB 的 中点, 则三棱锥A −NMD1 的体积为 . 5分
2. 2. 斜率为 √ 3 的直线过抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 且与C 交于A, B 两点, 则|AB| = . 5分
3. 3. 将数列{2n −1} 与{3n −2} 的公共项从小到大排列得到数列{an}, 则 {an} 的前n 项和为 . 5分
4. 4. 某中学开展劳动实习, 学生加工制作零件, 零件的截面如图所示. O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心, A 是圆弧AB 与直线AG 的切点, B 是 圆弧AB 与直线BC 的切点, 四边形DEFG 为矩形, BC ⊥DG, 垂足 为C, tan ∠ODC = 3 5, BH DG, EF = 12 cm, DE = 2 cm, A 到直线 DE 和EF 的距离均为7 cm, 圆孔半径为1 cm, 则图中阴影部分的面积 为 cm2. A B C D O H E F G 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在①ac = √ 3, ②c sin A = 3, ③c = √ 3b 这三个条件中任选一个, 补充在 下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求c 的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由. 问题: 是否存在△ABC, 它的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且 sin A = √ 3 sin B, C = π 6 , ?
2. 2. 已知公比大于1 的等比数列{an} 满足a2 + a4 = 20, a3 = 8. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求a1a2 −a2a3 + · · · + (−1)n−1 anan+1. 1135
3. 3. 为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了100 天空气中的PM2.5 和SO2 浓度(单位: µg/m3), 得下表: PM2.5 SO2 [0, 50] (50, 150] (150, 475] [0, 35] 32 18 4 (35, 75] 6 8 12 (75, 115] 3 7 10 (1) 估计事件“该市一天空气中PM2.5 浓度不超过75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率; (2) 根据所给数据, 完成下面的2 × 2 列联表: PM2.5 SO2 [0, 150] (150, 475] [0, 75] (75, 115] (3) 根据(2) 中的列联表, 判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关? 附: K2 = n (ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 的底面为正方形, PD ⊥底面ABCD. 设平面 PAD 与平面PBC 的交线为l. (1) 证明: l ⊥平面PDC; (2) 已知PD = AD = 1, Q 为l 上的点, QB = √ 2, 求PB 与平面QCD 所成角的正弦值. A P B C D
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 过点M (2, 3), 点A 为其左顶点, 且 AM 的斜率为1 2. (1) 求C 方程; (2) 点N 为椭圆上任意一点, 求△AMN 的面积的最大值.
6. 6. 已知函数f (x) = aex−1 −ln x + ln a. (1) 当a = e 时, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成 的三角形的面积; (2) 若f (x) ⩾1, 求a 的取值范围. 1136

原卷配图（含真实几何/应用题图示）