2020年江苏

本卷为官方高考数学真题（2020年江苏），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知关于x 的函数y = f (x), y = g (x) 与h (x) = kx + b (k, b ∈R) 在区 间D 上恒有f (x) ⩾h (x) ⩾g (x). (1) 若f (x) = x2 + 2x, g (x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求h (x) 的表 达式; (2) 若f (x) = x2 −x + 1, g (x) = k ln x, h (x) = kx −k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围; (3) 若f (x) = x4 −2x2, g (x) = 4x2 −8, h (x) = 4 (t3 −t) x −3t4 + 2t2 ( 0 < |t| ⩽ √ 2 ) , D = [m, n] ⊆ [ − √ 2, √ 2 ] , 求证: n −m ⩽ √ 7.
2. 2. 已知数列{an} (n ∈N∗) 的首项a1 = 1, 前n 项和为Sn. 设λ 与k 是 常数, 若对一切正整数n, 均有S 1 k n+1 −S 1 kn = λa 1 k n+1 成立, 则称此数列为 “λ ∼k”数列. (1) 若等差数列{an} 是“λ ∼1”数列, 求λ 的值; (2) 若数列{an} 是“ √ 3 3 ∼2”数列, 且an > 0, 求数列{an} 的通项公式; (2) 对于给定的λ, 是否存在三个不同的数列{an} 为“λ ∼3”数列, 且 an ⩾0? 若存在, 求λ 的取值范围; 若不存在, 说明理由.
3. 3. 三选二. 【A】平面上点A (2, −1) 在矩阵M = [ a 1 −1 b ] 对应的变换作用下得到点 (1) 求实数a, b 的值; (2) 求矩阵M 的逆矩阵M −1. 【B】在极坐标系中, 已知点A ( ρ1, π 3 ) 在直线l: ρ cos θ = 2 上, 点B ( ρ2, π 6 ) 在圆C: ρ = 4 sin θ 上(其中ρ ⩾0, 0 ⩽θ < 2π). (1) 求ρ1, ρ2 的值; (2) 求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标. 【C】设x ∈R, 解不等式2|x + 1| + |x| ⩽4.
4. 4. 在三棱锥A −BCD 中, 已知CB = CD = √ 5, BD = 2, O 为BD 的中 点, AO ⊥平面BCD, AO = 2, E 为AC 的中点. (1) 求直线AB 与DE 所成角的余弦值; (2) 若点F 在BC 上, 满足BF = 1 4BC, 设二面角F −DE −C 的大小为 θ, 求sin θ 的值. A B C D O E F
5. 5. 甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球, 乙口袋中装有3 个白球. 现从甲、乙 两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋, 重复n 次这样的操作, 记甲口 袋中黑球个数为Xn, 恰有2 个黑球的概率为pn, 恰有1 个黑球的概率为 qn. (1) 求p1, q1 和p2, q2; (2) 求2pn + qn 与2pn−1 + qn−1 的递推关系式和Xn 的数学期望E (Xn) (用n 表示). 1116

原卷配图（含真实几何/应用题图示）