本卷为官方高考数学真题（2020年浙江），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合P = {x | 1 < x < 4}, Q = {x | 2 < x < 3}, 则P ∩Q =
(
) 5分
A. {x | 1 < x ⩽2}
B. {x | 2 < x < 3}
C. {x | 3 ⩽x < 4}
D. {x | 1 < x < 4}
-
2. 已知a ∈R, 若a −1 + (a −2) i (i 为虚数单位) 是实数, 则a =
(
) 5分
A. 1
B. −1
C. 2
D. −2
-
3. 若实数x, y 满足约束条件
{
x −3y + 1 ⩽0,
x + y −3 ⩾0,
则z = x + 2y 的取值范围
是
(
) 5分
A. (−∞, 4]
B. [4, +∞)
C. [5, +∞)
D. (−∞, +∞)
-
4. 函数y = x cos x + sin x 在区间[−π, +π] 的图象大致为
(
)
(A)
x
y
O
−π
π
(B)
x
y
O
−π
π
(C)
x
y
O
−π
π
(D)
x
y
O
−π
π 5分
-
5. 某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积(单位: cm3)
是
(
)
俯视图
正视图
侧视图
1
1
1
1
2
3
3 5分
A. 7
B. 14
C. 3
D. 6
-
6. 已知空间中不过同一点的三条直线m, n, l, 则“m, n, l 在同一平面”是“m,
n, l 两两相交”的
(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
7. 已知等差数列{an} 的前n 项和Sn, 公差d̸ = 0, a1
bn+1 = S2n+2 −S2n, n ∈N∗, 下列等式不可能成立的是
(
)
4 = a2a8
4 = b2b8 5分
D. ⩽1. 记b1 = S2,
A. 2a4 = a2 + a6
B. 2b4 = b2 + b6
C. a2
D. b2
-
8. 已知点O (0, 0), A (−2, 0), B (2, 0). 设点P 满足|PA| −|PB| = 2, 且P
为函数y = 3
√
4 −x2 图象上的点, 则|OP| =
(
)
(A)
√
22
2
√
10
5
(C)
√
7
(D)
√
10 5分
B. 4
-
9. 已知a, b ∈R 且ab̸ = 0, 若(x −a) (x −b) (x −2a −b) ⩾0 在x ⩾0 上恒
成立, 则
(
) 5分
A. a < 0
B. a > 0
C. b < 0
D. b > 0
-
10. 设集合S, T, S ⊆N∗, T ⊆N∗, S, T 中至少有两个元素, 且S, T 满足:
①对于任意x, y ∈S, 若x̸ = y, 都有xy ∈T;
②对于任意x, y ∈T, 若x < y, 则y
x ∈S.
下列命题正确的是
(
) 5分
A. 若S 有4 个元素, 则S ∪T 有7 个元素
B. 若S 有4 个元素, 则S ∪T 有6 个元素
C. 若S 有3 个元素, 则S ∪T 有4 个元素
D. 若S 有3 个元素, 则S ∪T 有5 个元素
-
1. 已知数列{an} 满足an = n (n + 1)
2
, 则S3 =
. 5分
-
2. 设(1 + 2x)5 = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 + a5x4 + a6x5, 则a5 =
;
a1 + a2 + a3 =
. 5分
-
3. 已知tan θ = 2, 则cos 2θ =
; tan
(
θ −π
4
)
=
. 5分
-
4. 已知圆锥展开图的侧面积为2π, 且为半圆, 则底面半径为
. 5分
-
5. 设直线l: y = kx + b (k > 0), 圆C1: x2 + y2 = 1, C2 : (x −4)2 + y2 = 1,
若直线l 与C1, C2 都相切, 则k =
; b =
. 5分
-
6. 一个盒子里有1 个红1 个绿2 个黄四个相同的球, 每次拿一个, 不
放回, 拿出红球即停, 设拿出黄球的个数为ξ, 则P (ξ = 0) =
;
. 5分
E. (ξ) =
-
7. 设e1, e2 为单位向量, 满足|2e1 −e2| ⩽
√
2, a = e1 + e2, b = 3e1 + e2,
设a, b 的夹角为θ, 则cos2 θ 的最小值为
. 5分
-
1. 在锐角△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且2b sin A =
√
3a.
(1) 求角B;
(2) 求cos A + cos B + cos C 的取值范围.
-
2. 如图, 三棱台DEF −ABC 中, 面ADFC ⊥面ABC, ∠ACB = ∠ACD =
45◦, DC = 2BC.
(1) 证明: EF ⊥DB;
(2) 求DF 与面DBC 所成角的正弦值.
A
E
B
C
F
D
1137
-
3. 已知数列{an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn = an+1 −an,
cn+1 =
bn
bn+2
· cn, n ∈N∗.
(1) 若数列{bn} 为等比数列, 且公比q > 0, 且b1 + b2 = 6b3, 求q 与an 的
通项公式;
(2) 若数列{bn} 为等差数列, 且公差d > 0, 证明: c1+c2+· · ·+cn < 1+ 1
d,
n ∈N∗.
-
4. 如图, 已知椭圆C1: x2
2 + y2 = 1, 抛物线C2: y2 = 2px (p > 0), 点A 是椭
圆C1 与抛物线C2 的交点, 过点A 的直线l 交椭圆C1 于点B, 交抛物线
C2 于M (B, M 不同于A).
(1) 若p = 1
16, 求抛物线C2 的焦点坐标;
(2) 若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点, 求p 的最大值.
x
y
O
A
B
M
-
5. 已知1 < a ⩽2, 函数f (x) = ex −x −a, 其中e = 2.71828 · · · 为自然对数
的底数.
(1) 证明: 函数y = f (x) 在(0, +∞) 上有唯一零点;
(2) 记x0 为函数y = f (x) 在(0, +∞) 上的零点, 证明:
①√a −1 ⩽x0 ⩽
√
2 (a −1);
②x0f (ex0) ⩾(e −1) (a −1) a.
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