2021年全国乙卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2021年全国乙卷（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, bn 为数列{Sn} 的前n 项积, 已知 2 Sn + 1 bn = 2. (1) 证明: 数列{bn} 是等差数列; (2) 求{an} 的通项公式.
2. 2. 设函数f (x) = ln (a −x), 已知x = 0 是函数y = xf (x) 的极值点. (1) 求a; (2) 设函数g (x) = x + f (x) xf (x) , 证明: g (x) < 1.
3. 3. 已知抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 的焦点为F, 且F 与圆M: x2 + (y + 4)2 = 1 上的点的距离的最小值为4. (1) 求p; (2) 若点P 在圆M 上, PA, PB 是C 的两条切线, A, B 是切点, 求 △PAB 面积的最大值.
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, ⊙C 的圆心为C(2, 1), 半径为1. (1) 写出⊙C 的一个参数方程; (2) 过点F(4, 1) 作⊙C 的两条切线, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.
5. 5. 已知函数f(x) = |x −a| + |x + 3|. (1) 当a = 1 时, 求不等式f(x) ⩾6 的解集; (2) 若f(x) > −a, 求a 的取值范围. 1142

原卷配图（含真实几何/应用题图示）