2021年全国甲卷（文科）

本卷为官方高考数学真题（2021年全国甲卷（文科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧面AA1B1B 为正方形, AB = BC = 2, E, F 分别为AC 和CC1 的中点, BF ⊥A1B1. (1) 求三棱锥F −EBC 的体积; (2) 已知D 为棱A1B1 上的点, 证明: BF ⊥DE. A B C E A1 F B1 C1 D
2. 2. 设函数f(x) = a2x2 + ax −3 ln x + 1. 其中a > 0. (1) 讨论f(x) 的单调性; (2) 若y = f(x) 的图象与x 轴没有公共点, 求a 的取值范围.
3. 3. 抛物线C 的顶点为坐标原点O, 焦点在x 轴上, 直线l: x = 1 交C 于P, Q 两点, 且OP ⊥OQ. 已知点M(2, 0), 且⊙M 与l 相切. (1) 求C, ⊙M 的方程; (2) 设A1, A2, A3 是C 上的三个点, 直线A1A2, A1A3 均与⊙M 相切. 判 断A2A3 与⊙M 的位置关系, 并说明理由.
4. 4. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系, 曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 √ 2 cos θ. (1) 将C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点A 的直角坐标为(1, 0), M 为C 上的动点, 点P 满足 # » AP = √ 2# » AM, 写出P 的轨迹C1 的参数方程, 并判断C 与C1 是否 有公共点.
5. 5. 已知函数f(x) = |x −2|, g(x) = |2x + 3| −|2x −1|. (1) 画出y = f(x) 和y = g(x) 的图象; (2) 若f(x + a) ⩾g(x), 求a 的取值范围. x O 1 y 1 1148

原卷配图（含真实几何/应用题图示）