2021年全国甲卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2021年全国甲卷（理科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知数列{an} 的各项均为正数, 记Sn 为{an} 的前n 项和, 从下面①② ③中选取两个作为条件, 证明另外一个成立. ①数列{an} 是等差数列: ②数列{√Sn} 是等差数列; ③a2 = 3a1.
2. 2. 已知直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧面AA1B1B 为正方形, AB = BC = 2, E, F 分别为AC 和CC1 的中点, D 为棱A1B1 上的点, BF ⊥A1B1. (1) 证明: BF ⊥DE; (2) 当B1D 为何值时, 面BB1C1C 与面DEF 所成的二面角正弦值最小? A B C E A1 F B1 C1 D
3. 3. 抛物线C 的顶点为坐标原点O, 焦点在x 轴上, 直线l: x = 1 交C 于P, Q 两点, 且OP ⊥OQ. 已知点M(2, 0), 且⊙M 与l 相切. (1) 求C, ⊙M 的方程; (2) 设A1, A2, A3 是C 上的三个点, 直线A1A2, A1A3 均与⊙M 相切. 判 断A2A3 与⊙M 的位置关系, 并说明理由.
4. 4. 已知a > 0 且a̸ = 1, 函数f(x) = xa ax (x > 0). (1) 若a = 2, 求f(x) 的单调区间; (2) 若曲线y = f(x) 与直线y = 1 有且仅有两个交点, 求a 的取值范围.
5. 5. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系, 曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 √ 2 cos θ. (1) 将C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点A 的直角坐标为(1, 0), M 为C 上的动点, 点P 满足 # » AP = √ 2# » AM, 写出P 的轨迹C1 的参数方程, 并判断C 与C1 是否 有公共点.
6. 6. 已知函数f(x) = |x −2|, g(x) = |2x + 3| −|2x −1|. (1) 画出y = f(x) 和y = g(x) 的图象; (2) 若f(x + a) ⩾g(x), 求a 的取值范围. x O 1 y 1 1146

原卷配图（含真实几何/应用题图示）