2021年北京

本卷为官方高考数学真题（2021年北京），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 在核酸检测中, “k 合1”混采核酸检测是指: 先将k 个人的样本混合在一起 进行1 次检测, 如果这k 个人都没感染新冠病毒, 则检测结果为阴性; 如果 这k 个人中有人感染新冠病毒, 则检测结果阳性, 此时需对每人再进行一 次检测, 得到每人的检测结果, 检测结束. 现对100 人进行核酸检测, 假设 其中只有2 人感染新冠病毒, 并假设每次检测结果准确. (1) 将这100 人随机分成10 组, 每组10 人, 且对每组都采用“10 合1”混采 核酸检测. ①如果感染新冠病毒的2 人在同一组, 求检测的总次数; ②已知感染新冠病毒的2 人在同一组的概率为1 11, 设X 是检测的总 次数, 求X 的分布列与数学期望EX; (2) 将这100 人随机分成20 组, 每组5 人, 且对每组都采用“5 合1”混采核 酸检测. 设Y 是检测的总次数, 试判断数学期望EY 与(1) 中的EX 的 大小. (结论不要求证明)
2. 2. 已知函数f(x) = 3 −2x x2 + a. (1) 若a = 0, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程; (2) 若f(x) 在x = −1 处取得极值, 求f(x) 的单调区间, 并求其最大值与 最小值.
3. 3. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为A(0, −2), 以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为4 √ 5. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 过点P(0, −3) 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B, C, 直 线AB, AC 分别与直线y = −3 交于点M, N, 当|PM| + |PN| ⩽15 时, 求k 的取值范围.
4. 4. 设p 为实数. 若无穷数列{an} 满足如下三个性质, 则称{an} 为Rp 数列: ①a1 + p ⩾0, 且a2 + p = 0; ②a4n−1 < a4n (n = 1, 2, · · · ); ③am+n ∈{am + an + p, am + an + p + 1} (m = 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · ). (1) 如果数列{an} 的前四项分别为2, −2, −2, −1, 那么{an} 是否可能为 R2 数列? 说明理由; (2) 若数列{an} 是R0 数列, 求a5; (3) 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 是否存在Rp 数列{an}, 使得Sn ⩾S10 恒成立? 如果存在, 求出所有的p; 如果不存在, 说明理由. 1140

原卷配图（含真实几何/应用题图示）