2021年天津

本卷为官方高考数学真题（2021年天津），共 3 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 3 题）

1. 1. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 上顶点为B, 离心率为 2 √ 5 5 , 且|BF| = √ 5. (1) 求椭圆的方程; (2) 直线l 与椭圆有唯一的公共点M, 与y 轴的正半轴交于点N. 过N 与 BF 垂直的直线交x 轴于点P. 若MP BF, 求直线l 的方程.
2. 2. 已知{an} 是公差为2 的等差数列, 其前8 项的和为64. {bn} 是公比大于 0 的等比数列, b1 = 4, b3 −b2 = 48. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 记cn = b2n + 1 bn , n ∈N∗. ①证明: {c2 n −c2n} 是等比数列; ②证明: n∑ k=1 √akak+1 c2 k −c2k < 2 √ 2 (n ∈N∗).
3. 3. 已知a > 0, 函数f(x) = ax −xex. (1) 求曲线f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 证明f(x) 存在唯一的极值点; (3) 若存在a, 使得f(x) ⩽a + b 对任意x ∈R 成立, 求实数b 的取值范围. 1152

原卷配图（含真实几何/应用题图示）