2021年新高考2

本卷为官方高考数学真题（2021年新高考2），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在四棱锥Q −ABCD 中, 底面ABCD 是正方形, AD = 2, QD = QA = √ 5, QC = 3. (1) 证明: 平面QAD ⊥平面ABCD; (2) 求二面角B −QD −A 的余弦值. A B C D Q
2. 2. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 右焦点为F( √ 2, 0), 其离心率为 √ 6 3 . (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设M, N 是椭圆C 上的两点, 直线MN 与曲线x2 + y2 = b2 (x > 0) 相切. 证明: M, N, F 三点共线的充要条件是|MN| = √ 3.
3. 3. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生物为第 0 代, 经过一次繁殖后为第1 代, 再经过一次繁殖后为第2 代· · · · · · 该微 生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列, 设X 表示1 个微 生物个体繁殖下一代的个数, P(X = i) = pi > 0 (i = 0, 1, 2, 3). (1) 已知p0 = 0.4, p1 = 0.3, p2 = 0.2, p3 = 0.1, 求E(X); (2) 设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率, p 是关于x 的 方程: p0 + p1x + p2x2 + p3x3 = x 的一个最小正实根, 求证: 当E(X) ⩽1 时, p = 1, 当E(X) > 1 时, p < 1; (3) 根据你的理解说明(2) 问结论的实际含义.
4. 4. 已知函数f(x) = (x −1)ex −ax2 + b. (1) 讨论f(x) 的单调性; (2) 从下面两个条件中任选一个作为已知条件, 证明: f(x) 有一个零点. ①1 2 < a ⩽e2 2 , b > 2a; ②0 < a < 1 2, b ⩽2a. 1156

原卷配图（含真实几何/应用题图示）