2022年上海

本卷为官方高考数学真题（2022年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若复数z = 1 + i (其中i 为虚数单位), 则2z = . 5分
2. 2. 双曲线x2 9 −y2 = 1 的实轴长为 . 5分
3. 3. 函数y = cos2 x −sin2 x + 1 的最小正周期为 . 5分
4. 4. 设a 为常数, 若行列式  a 1 3 2  的值与行列式  a 0 4 1  的值相等, 则 . 5分
   A. =
5. 5. 若圆柱的高为4, 底面积为9π, 则该圆柱的侧面积为 . 5分
6. 6. 若实数x, y 满足x−y ⩽0, x+y−1 ⩾0, 则z = x+2y 的最小值为 . 5分
7. 7. 在(3+x)n 的二项展开式中, 若x2 的系数是常数项的5 倍, 则n = . 5分
8. 8. 设a 为常数, 若函数f(x) = { a2x −1, x < 0, x + a, x > 0. 为奇函数, 则实数 . 5分
   A. =
9. 9. 为了检测学生的身体素质指标, 需从游泳类1 项, 球类3 项, 田径类4 项, 共8 项项目中随机抽取4 项进行测试, 每一类都被抽到的概率为 . (结果用最简分数表示) 5分
10. 10. 已知等差数列{an} 的公差不为零, Sn 为其前n 项和. 若S5 = 0, 则S1, S2, · · · , S100 这100 个数中所有不同数值的个数为 . 5分
11. 11. 已知平面非零向量a, b, c 的模均为λ, 若a · b = 0, a · c = 2, b · c = 1, 则 λ = . 5分
12. 12. 设函数y = f(x), 定义域为[0, +∞), 值域为A, 且对定义域中任意实数x 均成立f(x) = f ( 1 x + 1 ) , 若{y | y = f(x), x ∈[0, a]} = A, 则实数a 的 取值范围是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若集合A = [−1, 2), B = Z, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−2, −1, 0, 1} B. {−1, 0, 1} C. {−1, 0} D. {−1}
2. 2. 若实数a, b 满足a > b > 0, 则下列不等式中, 恒成立的是 ( ) √ ab √ ab 2 + 2b > 2 √ ab 2 + 2b < 2 √ ab 5分
   A. a + b > 2 B. a + b < 2 C. a D. a
3. 3. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, P、Q、R、S 分别为棱AB、BC、 BB1、CD 的中点, 连接A1S, B1D. 对于空间任意两点M、N, 若线段 MN 上不存在也在线段A1S、B1D 上的点, 则称M、N 两点“可视”, 则下 列选项中与点D1 “可视”的点为 ( ) A B Q R S P C D A1 B1 C1 D1 • • • • 5分
   A. 点P B. 点B C. 点R D. 点Q
4. 4. 在平面直角坐标系中, 设点集Ω= { (x, y)  (x −k)2 + (y −k2) 2 = 4|k|, k ∈Z } , 有结论: ①存在直线l, 使得Ω中不存在点在l 上, 但存在点在l 两侧; ②存在直线l, 使得Ω中存在无数个点在l 上. 关于以上两个结论, 正确的判断是 ( ) 5分
   A. ①成立, ②成立 B. ①成立, ②不成立 C. ①不成立, ②成立 D. ①不成立, ②不成立

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 已知三棱锥P −ABC, 底面ABC 为等边三角形, O 为AC 的中点, AP = AC = 2, 且PO ⊥底面ABC. (1) 求三棱锥P −ABC 的体积V ; (2) 若M 为BC 中点, 求PM 与平面PAC 所成角的大小. O B C A P
2. 2. 设a 为常数, f(x) = log3(a + x) + log3(6 −x). (1) 若将函数y = f(x) 的图象向下移m (m > 0) 个单位后, 其图象经过 (3, 0), (5, 0) 两点, 求实数a 和m 的值; (2) 若a > −3 且a̸ = 0, 解不等式f(x) ⩽f(6 −x). 1169
3. 3. 如图, AD = BC = 6, AB = 20, ∠DAB = ∠ABC = 120◦, O 为AB 中点, 曲线CD 上任意一点到点O 的距离均相等, P、M、Q 为曲线CD 上的 点, 且MO ⊥AB, 点P 与点Q 关于直线OM 对称. (1) 若点P 与点C 重合, 求∠POB 的大小; (2) 点P 在何位置时, 五边形CPMQD 的面积S 取到最大值, 并求出该 最大值. O B D C A M Q P
4. 4. 设椭圆Γ: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), F1(− √ 2, 0), F2( √ 2, 0) 为Γ 的焦点, √ 2 = 0 上一点. (1) 若a = 2, 且AM 的中点在x 轴上, 求点M 的坐标; (2) 若直线l 与y 轴的交点为B, 直线AM 经过点F2, 且在△ABM 中有 一内角的余弦值为3 5, 求b 的值; (3) 若Γ 上一点P 到l 的距离为d, 且|PF1|+|PF2|+d = 6, 求d 的最小值.
5. 5. 在数列{an} 中, a1 = 1, a2 = 3, 对任意n ∈N∗且n ⩾2, 均存在正整数 i ∈[1, n −1], 满足an+1 = 2an −ai. (1) 求a4 所有可能的值; (2) 命题p: 若a1, a2, · · · , a8 成等差数列, 则a9 < 30, 证明p 是真命题, 同 时写出p 的逆命题q, 并判断命题q 是真命题还是假命题, 说明理由; (3) 若a2m = 3m (m ∈N∗), 求数列{an} 的通项公式. 1170

原卷配图（含真实几何/应用题图示）