本卷为官方高考数学真题（2022年全国乙卷（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 集合M = {2, 4, 6, 8, 10}, N = {x | −1 < x < 6}, 则M ∩N =
(
) 5分
A. {2, 4}
B. {2, 4, 6}
C. {2, 4, 6, 8}
D. {2, 4, 6, 8, 10}
-
2. 设(1 + 2i)a + b = 2i, 其中a, b 为实数, 则
(
) 5分
A. a = 1, b = −1
B. a = 1, b = 1
C. a = −1, b = 1
D. a = −1, b = −1
-
3. 已知向量a = (2, 1), b = (−2, 4), 则|a −b| =
(
) 5分
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
-
4. 分别统计了甲、乙两位同学16 周的各周课外体育运动时长(单位: h), 得
如下茎叶图:
甲
乙
6
1
5.
8
5
3
0
6.
3
7
5
3
2
7.
4
6
6
4
2
1
8.
1
2
2
5
6
6
6
6
4
2
9.
0
2
3
8
10.
1
则下列结论中错误的是
(
) 5分
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.6
-
5. 若x, y 满足约束条件
x + y ⩾2,
x + 2y ⩽4,
y ⩾0,
则z = 2x −y 的最大值是
(
) 5分
A. −2
B. 4
C. 8
D. 12
-
6. 设F 为抛物线C:
y2 = 4x 的焦点, 点A 在C 上, 点B(3, 0), 若
|AF| = |BF|, 则|AB| =
(
)
√
2
√
2 5分
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
-
7. 执行如图的程序框图, 输出的n =
(
)
开始
输入a = 1, b = 1, n = 1
b2
a2 −2
< 0.01
输出n
结束
是
否 5分
B. = b + 2a
A. = b −a, n = n + 1
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
-
8. 如图是下列四个函数中的某个函数在[−3, 3] 的大致图象, 则该函数是(
)
O
x
1
3
−3
1
y
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1 5分
A. y = −x3 + 3x
B. y = x3 −x
C. y = 2x cos x
D. y = 2 sin x
-
9. 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F 分别为AB, BC 的中点, 则(
)
平面A1AC
平面A1C1D 5分
A. 平面B1EF ⊥平面BDD1
B. 平面B1EF ⊥平面A1BD
C. 平面B1EF
D. 平面B1EF
-
10. 已知等比数列{an} 的前3 项和为168, a2 −a5 = 42, 则a6 =
(
) 5分
A. 14
B. 12
C. 6
D. 3
-
11. 函数f(x) = cos x + (x + 1) sin x + 1 在区间[0, 2π] 的最小值、最大值分别
为
(
)
2 , π
2
2 , π
2
2 , π
2 + 2
2 , π
2 + 2 5分
A. −π
B. −3π
C. −π
D. −3π
-
12. 已知球O 的半径为1 , 四棱锥的顶点为O, 底面的四个顶点均在球O 的
球面上, 则当该四棱锥的体积最大时, 其高为
(
)
3
2
(C)
√
3
3
(D)
√
2
2 5分
A. 1
B. 1
-
1. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知sin C sin(A −B) =
sin B sin(C −A).
(1) 若A = 2B, 求C;
(2) 证明: 2a2 = b2 + c2.
-
2. 如图, 四面体ABCD 中, AD ⊥CD, AD = CD, ∠ADB = ∠BDC, E 为
AC 的中点.
(1) 证明: 平面BED ⊥平面ACD;
(2) 设AB = BD = 2, ∠ACB = 60◦, 点F 在BD 上, 当△AFC 的面积
最小时, 求三棱锥F −ABC 的体积.
E
B
C
A
D
F
1167
-
3. 某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某
种树木的总材积量, 随机选取了10 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面
积(单位: m2) 和材积量(单位: m3), 得到如下数据:
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得
10
∑
i=1
x2
i = 0.038,
10
∑
i=1
y2
i = 1.6158,
10
∑
i=1
xiyi = 0.2474.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到
0.01);
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木
的根部横截面积总和为186 m2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近
似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附: 相关系数r =
n∑
i=1
(xi −x) (yi −y)
√n∑
i=1
(xi −x)2
n∑
i=1
(yi −y)2
,
√
1.896 ≈1.377.
-
4. 已知函数f(x) = ax −1
x −(a + 1) ln x.
(1) 当a = 0 时, 求f(x) 的最大值;
(2) 若f(x) 恰有一个零点, 求a 的取值范围.
-
5. 已知椭圆E 的中心为坐标原点, 对称轴为x 轴、y 轴, 且过A(0, −2),
B
(3
2, −1
)
两点.
(1) 求E 的方程;
(2) 设过点P(1, −2) 的直线交E 于M, N 两点, 过M 且平行于x 轴的
直线与线段AB 交于点T, 点H 满足# »
MT = # »
TH. 证明: 直线HN 过定点.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为
{
x =
√
3 cos 2t,
y = 2 sin t
(t 为参数).
以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线l 的极坐标
方程为ρ sin
(
θ + π
3
)
+ m = 0.
(1) 写出l 的直角坐标方程;
(2) 若l 与C 有公共点, 求m 的取值范围.
-
7. 已知a, b, c 都是正数, 且a
3
2 + b
3
2 + c
3
2 = 1, 证明:
(1) abc ⩽1
9;
(2)
a
b
c
1
2
√
abc
.
1168
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