2022年全国乙卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2022年全国乙卷（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合M 满足∁UM = {1, 3}, 则 ( ) 5分
   A. 2 ∈M B. 3 ∈M C. 4 /∈M D. 5 /∈M
2. 2. 已知z = 1 −2i, 且z + az + b = 0, 其中a, b 为实数, 则 ( ) 5分
   A. a = 1, b = −2 B. a = −1, b = 2 C. a = 1, b = 2 D. a = −1, b = −2
3. 3. 已知向量a, b 满足|a| = 1, |b| = √ 3, |a −2b| = 3, 则a · b = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
4. 4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环 绕太阳飞行的人造行星. 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列{bn}: b1 = 1 + 1 α1 , b2 = 1 + 1 α1 + 1 α2 , b3 = 1 + 1 α1 + 1 α2 + 1 α3 , · · · , 依此类推, 其中αk ∈N∗(k = 1, 2, · · · ). 则 ( ) 5分
   A. b1 < b5 B. b3 < b8 C. b6 < b2 D. b4 < b7
5. 5. 设F 为抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 点A 在C 上, 点B(3, 0), 若 |AF| = |BF|, 则|AB| = ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
6. 6. 执行如图的程序框图, 输出的n = ( ) 开始 输入a = 1, b = 1, n = 1  b2 a2 −2  < 0.01 输出n 结束 是 否 5分
   B. = b + 2a A. = b −a, n = n + 1 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 7. 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F 分别为AB, BC 的中点, 则( ) 平面A1AC 平面A1C1D 5分
   A. 平面B1EF ⊥平面BDD1 B. 平面B1EF ⊥平面A1BD C. 平面B1EF D. 平面B1EF
8. 8. 已知等比数列{an} 的前3 项和为168, a2 −a5 = 42, 则a6 = ( ) 5分
   A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
9. 9. 已知球O 的半径为1, 四棱锥的顶点为O, 底面的四个顶点均在球O 的球 面上, 则当该四棱锥的体积最大时, 其高为 ( ) 3 2 (C) √ 3 3 (D) √ 2 2 5分
   A. 1 B. 1
10. 10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该 棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1, p2, p3, 且p3 > p2 > p1 > 0. 记该棋手连胜两盘的概率为p, 则 ( ) 5分
    A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛, p 最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛, p 最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛, p 最大
11. 11. 双曲线C 的两个焦点为F1, F2, 以C 的实轴为直径的圆记为D, 过F1 作D 的切线与C 交于M, N 两点, 且cos ∠F1NF2 = 3 5, 则C 的离心率 为 ( ) (A) √ 5 2 2 (C) √ 13 2 (D) √ 17 2 5分
    B. 3
12. 12. 已知函数f(x), g(x) 的定义域均为R, 且f(x) + g(2 −x) = 5, g(x) − f(x −4) = 7. 若y = g(x) 的图象关于直线x = 2 对称, g(2) = 4, 则 22 ∑ k=1 f(k) = ( ) 5分
    A. −21 B. −22 C. −23 D. −24

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作, 则甲、乙都入选的 概率为 . 5分
2. 2. 过四点(0, 0), (4, 0), (−1, 1), (4, 2) 中的三点的一个圆的方程为 . 5分
3. 3. 记函数f(x) = cos(ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的最小正周期为T. 若 f(T) = √ 3 2 , x = π 9 为f(x) 的零点, 则ω 的最小值为 . 5分
4. 4. 已知x = x1 和x = x2 分别是函数f(x) = 2ax −ex2 (a > 0 且a̸ = 1) 的 极小值点和极大值点. 若x1 < x2, 则a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知sin C sin(A −B) = sin B sin(C −A). (1) 证明: 2a2 = b2 + c2; (2) 若a = 5, cos A = 25 31, 求△ABC 的周长.
2. 2. 如图, 四面体ABCD 中, AD ⊥CD, AD = CD, ∠ADB = ∠BDC, E 为 AC 的中点. (1) 证明: 平面BED ⊥平面ACD; (2) 设AB = BD = 2, ∠ACB = 60◦, 点F 在BD 上, 当△AFC 的面积 最小时, 求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值. E B C A D F 1165
3. 3. 某地经过多年的环境治理, 已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某 种树木的总材积量, 随机选取了10 棵这种树木, 测量每棵树的根部横截面 积(单位: m2) 和材积量(单位: m3), 得到如下数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 10 ∑ i=1 x2 i = 0.038, 10 ∑ i=1 y2 i = 1.6158, 10 ∑ i=1 xiyi = 0.2474. (1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 0.01); (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积, 并得到所有这种树木 的根部横截面积总和为186 m2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近 似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附: 相关系数r = n∑ i=1 (xi −x) (yi −y) √n∑ i=1 (xi −x)2 n∑ i=1 (yi −y)2 , √ 1.896 ≈1.377.
4. 4. 已知椭圆E 的中心为坐标原点, 对称轴为x 轴、y 轴, 且过A(0, −2), B (3 2, −1 ) 两点. (1) 求E 的方程; (2) 设过点P(1, −2) 的直线交E 于M, N 两点, 过M 且平行于x 轴的 直线与线段AB 交于点T, 点H 满足# » MT = # » TH. 证明: 直线HN 过定点.
5. 5. 已知函数f(x) = ln(1 + x) + axe−x. (1) 当a = 1 时, 求曲线y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 若f(x) 在区间(−1, 0), (0, +∞) 各恰有一个零点, 求a 的取值范围.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为 { x = √ 3 cos 2t, y = 2 sin t (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线l 的极坐标 方程为ρ sin ( θ + π 3 ) + m = 0. (1) 写出l 的直角坐标方程; (2) 若l 与C 有公共点, 求m 的取值范围.
7. 7. 已知a, b, c 都是正数, 且a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 = 1, 证明: (1) abc ⩽1 9; (2) a b c 1 2 √ abc . 1166

原卷配图（含真实几何/应用题图示）