本卷为官方高考数学真题（2022年全国甲卷（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 设集合A = {−2, −1, 0, 1, 2}, B =
{
x
0 ⩽x < 5
2
}
, 则A ∩B =
(
) 5分
A. {0, 1, 2}
B. {−2, −1, 0} (C) {0, 1}
D. {1, 2}
-
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果,
随机抽取10 位社区居民, 让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类
知识问卷, 这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
居民编号
1
10
2
3
4
5
6
7
8
9
正确率
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0
• 讲座后
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
∗讲座前
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
则
(
) 5分
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
-
3. 若z = 1 + i, 则|iz + 3z| =
(
)
√
5
√
2
√
5
√
2 5分
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2
-
4. 如图, 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图, 网格小正方形的边长为1,
则该多面体的体积为
(
) 5分
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
-
5. 将函数f(x) = sin
(
ωx + π
3
)
(ω > 0) 的图象向左平移π
2 个单位长度后得
到曲线C, 若C 关于y 轴对称, 则ω 的最小值为
(
)
6
4
3
2 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
-
6. 从分别写有1, 2, 3, 4, 5, 6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张, 则抽到的
2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为
(
)
5
3
5
3 5分
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2
-
7. 函数y = (3x −3−x) cos x 在区间
[
−π
2 , π
2
]
的图象大致为
(
)
(A)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(B)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(C)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(D)
x
y
1
π
2
−π
2
O 5分
-
8. 当x = 1 时, 函数f(x) = a ln x + b
x 取得最大值−2, 则f ′(2) =
(
)
2
2 5分
A. −1
B. −1
C. 1
D. 1
-
9. 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, 已知B1D 与平面ABCD 和平面
AA1B1B 所成的角均为30◦, 则
(
) 5分
A. AB = 2AD
B. AB 与平面AB1C1D 所成的角为30◦
C. AC = CB1
D. B1D 与平面BB1C1C 所成的角为45◦
-
10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等, 侧面展开图的圆心角之和为2π, 侧面积分
别为S甲和S乙, 体积分别为V甲和V乙．若S甲
S乙
= 2, 则V甲
V乙
=
(
)
(A)
√
5
√
2
(C)
√
10
√
10
4 5分
B. 2
D. 5
-
11. 已知椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为1
3, A1, A2 分别为C 的
左、右顶点, B 为C 的上顶点. 若# »
BA1 · # »
BA2 = −1, 则C 的方程为(
)
18 + y2
16 = 1 (B) x2
9 + y2
8 = 1
3 + y2
2 = 1
2 + y2 = 1 5分
A. x2
C. x2
D. x2
-
12. 已知9m = 10, a = 10m −11, b = 8m −9, 则
(
) 5分
A. a > 0 > b
B. a > b > 0
C. b > a > 0
D. b > 0 > a
-
1. 已知向量a = (m, 3), b = (1, m + 1). 若a ⊥b, 则m =
. 5分
-
2. 设点M 在直线2x + y −1 = 0 上, 点(3, 0) 和(0, 1) 均在⊙M 上, 则⊙M
的方程为
. 5分
-
3. 记双曲线C: x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为e, 写出满足条件“直
线y = 2x 与C 无公共点”的e 的一个值
. 5分
-
4. 已知△ABC 中, 点D 在边BC 上, ∠ADB = 120◦, AD = 2, CD = 2BD,
当AC
AB 取得最小值时, BD =
. 5分
-
1. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营. 为了解这两家公
司长途客车的运行情况, 随机调查了甲、乙两城之间的500 个班次, 得到下
面列联表:
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
(1) 根据上表, 分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2) 能否有90% 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所
属公司有关?
附: K2 =
n(ad −bc)2
P (K2 ⩾k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635 .
1163
-
2. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和. 已知2Sn
n
+ n = 2an + 1.
(1) 证明: {an} 是等差数列;
(2) 若a4, a7, a9 成等比数列, 求Sn 的最小值.
-
3. 小明同学参见综合实践活动, 设计了一个封闭的包装盒. 包装盒如图所示:
底面ABCD 是边长为8 (单位: cm) 的正方形, △EAB, △FBC, △GCD,
△HDA 均为正三角形, 且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直.
(1) 证明: EF
平面ABCD;
(2) 求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
A
B
C
H
E
G
F
D
-
4. 已知函数f(x) = x3 −x, g(x) = x2 + a, 曲线y = f(x) 在点(x1, f (x1)) 处
的切线也是曲线y = g(x) 的切线.
(1) 若x1 = −1, 求a;
(2) 求a 的取值范围.
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5. 设抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点D(p, 0), 过F 的直线交C
于M, N 两点. 当直线MD 垂直于x 轴时, |MF| = 3.
(1) 求C 的方程;
(2) 设直线MD, ND 与C 的另一个交点分别为A, B, 记直线MN, AB
的倾斜角分别为α, β. 当α −β 取得最大值时, 求直线AB 的方程.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为
x = 2 + t
6
,
y =
√
t
(t 为参数), 曲
线C2 的参数方程为
x = −2 + s
6
,
y = −√s
(s 为参数).
(1) 写出C1 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C3 的极坐
标方程为2 cos θ −sin θ = 0, 求C3 与C1 交点的直角坐标, 及C3 与C2 交
点的直角坐标.
-
7. 已知a, b, c 均为正数, 且a2 + b2 + 4c2 = 3, 证明:
(1) a + b + 2c ⩽3;
(2) 若b = 2c, 则1
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