本卷为官方高考数学真题（2022年全国甲卷（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 若z = −1 +
√
3i, 则
z
zz −1 =
(
)
√
3i
√
3i
3 +
√
3
3 i
3 −
√
3
3 i 5分
A. −1 +
B. −1 −
C. −1
D. −1
-
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效果,
随机抽取10 位社区居民, 让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类
知识问卷, 这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
居民编号
1
10
2
3
4
5
6
7
8
9
正确率
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0
• 讲座后
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
∗讲座前
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
则
(
) 5分
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
-
3. 设全集U
= {−2,
−1,
0,
1,
2,
3}, 集合A = {−1,
2}, B
=
{x | x2 −4x + 3 = 0}, 则∁U(A ∪B) =
(
) 5分
A. {1, 3}
B. {0, 3}
C. {−2, 1}
D. {−2, 0}
-
4. 如图, 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图, 网格小正方形的边长为1,
则该多面体的体积为
(
) 5分
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
-
5. 函数y = (3x −3−x) cos x 在区间
[
−π
2 , π
2
]
的图象大致为
(
)
(A)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(B)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(C)
x
y
1
π
2
−π
2
O
(D)
x
y
1
π
2
−π
2
O 5分
-
6. 当x = 1 时, 函数f(x) = a ln x + b
x 取得最大值−2, 则f ′(2) =
(
)
2
2 5分
A. −1
B. −1
C. 1
D. 1
-
7. 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, 已知B1D 与平面ABCD 和平面
AA1B1B 所成的角均为30◦, 则
(
) 5分
A. AB = 2AD
B. AB 与平面AB1C1D 所成的角为30◦
C. AC = CB1
D. B1D 与平面BB1C1C 所成的角为45◦
-
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技义上史上的杰作, 其中收录了计算圆
弧长度的“会圆术”. 如图, ˜
AB 是以O 为圆心, OA 为半径的圆弧, C 是AB
的中点, D 在˜
AB 上, CD ⊥AB, “会圆术”给出˜
AB 的弧长的近似值s 的
计算公式: s = AB + CD2
OA , 当OA = 2, ∠AOB = 60◦时, s =
(
)
D
O
C
B
A
√
3
2
√
3
2
√
3
2
√
3
2 5分
A. 11 −3
B. 11 −4
C. 9 −3
D. 9 −4
-
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等, 侧面展开图的圆心角之和为2π, 侧面积分
别为S甲和S乙, 体积分别为V甲和V乙．若S甲
S乙
= 2, 则V甲
V乙
=
(
)
(A)
√
5
√
2
(C)
√
10
√
10
4 5分
B. 2
D. 5
-
10. 椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左顶点为A, 点P, Q 均在C 上, 且
关于y 轴对称. 若直线AP, AQ 的斜率之积为1
4, 则C 的离心率为
(
)
(A)
√
3
2
(B)
√
2
2
2
3 5分
C. 1
D. 1
-
11. 设函数f(x) = sin
(
ωx + π
3
)
在区间(0, π) 恰有三个极值点、两个零点, 则
实数ω 的取值范围是
(
)
(A)
[5
3, 13
6
)
(B)
[5
3, 19
6
)
(C)
(13
6 , 8
3
]
(D)
(13
6 , 19
6
] 5分
-
12. 已知a = 31
32, b = cos 1
4, c = 4 sin 1
4, 则
(
) 5分
A. c > b > a
B. b > a > c
C. a > b > c
D. a > c > b
-
1. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和. 已知2Sn
n
+ n = 2an + 1.
(1) 证明: {an} 是等差数列;
(2) 若a4, a7, a9 成等比数列, 求Sn 的最小值.
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-
2. 在四棱锥P −ABCD 中, PD ⊥底面ABCD, CD
AB, AD = DC =
CB = 1, AB = 2, DP =
√
3.
(1) 证明: BD ⊥PA;
(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.
A
B
C
P
D
-
3. 甲、乙两个学校进行体育比赛, 比赛共设三个项目, 每个项目胜方得10 分,
负方得0 分, 没有平局. 三个项目比赛结束后, 总得分高的学校获得冠军.
已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5, 0.4, 0.8, 各项目的比赛结
果相互独立.
(1) 求甲学校获得冠军的概率;
(2) 用X 表示乙学校的总得分, 求X 的分布列与期望.
-
4. 设抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点D(p, 0), 过F 的直线交C
于M, N 两点. 当直线MD 垂直于x 轴时, |MF| = 3.
(1) 求C 的方程;
(2) 设直线MD, ND 与C 的另一个交点分别为A, B, 记直线MN, AB
的倾斜角分别为α, β. 当α −β 取得最大值时, 求直线AB 的方程.
-
5. 已知函数f(x) = ex
x −ln x + x −a.
(1) 若f(x) ⩾0, 求实数a 的取值范围;
(2) 证明: 若f(x) 有两个零点x1, x2, 则x1x2 < 1.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为
x = 2 + t
6
,
y =
√
t
(t 为参数), 曲
线C2 的参数方程为
x = −2 + s
6
,
y = −√s
(s 为参数).
(1) 写出C1 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C3 的极坐
标方程为2 cos θ −sin θ = 0, 求C3 与C1 交点的直角坐标, 及C3 与C2 交
点的直角坐标.
-
7. 已知a, b, c 均为正数, 且a2 + b2 + 4c2 = 3, 证明:
(1) a + b + 2c ⩽3;
(2) 若b = 2c, 则1
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