2022年北京

本卷为官方高考数学真题（2022年北京），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {x | −3 < x < 3}, 集合A = {x | −2 < x ⩽1}, 则 ∁UA = ( ) 5分
   A. (−2, 1] B. (−3, −2) ∪[1, 3) C. [−2, 1) D. (−3, −2] ∪(1, 3)
2. 2. 若复数z 满足i · z = 3 −4i, 则|z| = ( ) 5分
   A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
3. 3. 若直线2x + y −1 = 0 是圆(x −a)2 + y2 = 1 的一条对称轴, 则a = ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. −1 C. 1 D. −1
4. 4. 已知函数f(x) = 1 1 + 2x , 则对任意实数x, 有 ( ) 3 5分
   A. f(−x) + f(x) = 0 B. f(−x) −f(x) = 0 C. f(−x) + f(x) = 1 D. f(−x) −f(x) = 1
5. 5. 已知函数f(x) = cos2 x −sin2 x, 则 ( ) ( −π 2 , −π 6 ) 上单调递减(B) f(x) 在 ( −π 4 , π 12 ) 上单调递增 ( 0, π 3 ) 上单调递减 (π 4 , 7π 12 ) 上单调递增 5分
   A. f(x) 在 C. f(x) 在 D. f(x) 在
6. 6. 设{an} 是公差不为0 的无穷等差数列, 则“{an} 为递增数列”是“存在正整 数N0, 当n > N0 时, an > 0 ”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 在北京冬奥会上, 国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直 冷制冰技术, 为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化 碳所处的状态与T 和lg P 的关系, 其中T 表示温度, 单位是K; P 表示压 强, 单位是bar. 下列结论中正确的是 ( ) T 250 300 350 400 4 1 2 3 lg P 200 0 固态 液态 气态 超临界状态 5分
   A. 当T = 220, P = 1026 时, 二氧化碳处于液态 B. 当T = 270, P = 128 时, 二氧化碳处于气态 C. 当T = 300, P = 9987 时, 二氧化碳处于超临界状态 D. 当T = 360, P = 729 时, 二氧化碳处于超临界状态
8. 8. 若(2x −1)4 = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, 则a0 + a2 + a4 = ( ) 5分
   A. 40 B. 41 C. −40 D. −41
9. 9. 已知正三棱锥P −ABC 的六条棱长均为6, S 是△ABC 及其内部的点构 成的集合, 设集合T = {Q ∈S | PQ ⩽5}, 则T 表示的区域的面积为( ) 4 5分
   A. 3π B. π C. 2π D. 3π
10. 10. 在△ABC 中, AC = 3, BC = 4, ∠C = 90◦. P 为△ABC 所在平面内的 动点, 且PC = 1, 则# » PA · # » PB 的取值范围是 ( ) 5分
    A. [−5, 3] B. [−3, 5] C. [−6, 4] D. [−4, 6]

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 函数f(x) = 1 x + √1 −x 的定义域是 . 5分
2. 2. 已知双曲线y2 + x2 m = 1 的渐近线方程为y = ± √ 3 3 x, 则m = . 5分
3. 3. 若函数f(x) = A sin x − √ 3 cos x 的一个零点为π 3 , 则A = ; f ( π 12 ) = . 5分
4. 4. 设函数f(x) = { −ax + 1, x < a, (x −2)2, x ⩾a. 若f(x) 存在最小值, 则a 的一个取值 为 ; a 的最大值为 . 5分
5. 5. 已知数列{an} 的各项均为正数, 其前n 项和Sn 满足an · Sn = 9 (n = 1, 2, · · · ). 给出下列四个结论: ①{an} 的第2 项小于3; ②{an} 为等比数列; ③{an} 为递减数列; ④{an} 中存在小于 1 100 的项. 其中所有正确结论的序号是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, sin 2C = √ 3 sin C. (1) 求∠C; (2) 若b = 6, 且△ABC 的面积为6 √ 3, 求△ABC 的周长.
2. 2. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧面BCC1B1 为正方形, 平面 BCC1B1 ⊥平面ABB1A1, AB = BC = 2, M, N 分别为A1B1, AC 的中点. (1) 求证: MN 平面BCC1B1; (2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知, 求直线AB 与平 面BMN 所成角的正弦值. 条件①: AB ⊥MN; 条件②: BM = MN. N C B A M C1 B1 A1
3. 3. 在校运动会上, 只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛, 比赛成绩达到9.50 m 以上(含9.50 m) 的同学将获得优秀奖, 为预测获得优秀奖的人数及冠军 得主, 收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩, 并整理得到如下数据(单位: m): 甲: 9.80 9.70 9.55 9.54 9.48 9.42 9.40 9.35 9.30 9.25 乙: 9.78 9.56 9.51 9.36 9.32 9.23 丙: 9.85 9.65 9.20 9.16 假设用频率估计概率, 且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1) 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率; (2) 设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数, 估计 X 的数学期望EX; (3) 在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大? (结 论不要求证明) 1159
4. 4. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个顶点为A(0, 1), 焦距为2 √ 3. (1) 求椭圆E 的方程: (2) 过点P(−2, 1) 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B, C, 直 线AB, AC 分别与x 轴交于点M, N. 当|MN| = 2 时, 求k 的值.
5. 5. 己知函数f(x) = ex ln(1 + x). (1) 求曲线y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 设g(x) = f ′(x), 讨论函数g(x) 在[0, +∞) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的s, t ∈(0, +∞), 有f(s + t) > f(s) + f(t).
6. 6. 己知Q: a1, a2, · · · , ak 为有穷整数数列. 给定正整数m, 若对任意的 n ∈{1, 2, · · · , m}, 在Q 中存在ai, ai+1, ai+2, · · · , ai+j (j ⩾0), 使得 ai + ai+1 + ai+2 + · · · + ai+j = n, 则称Q 为m−连续可表数列. (1) 判断Q: 2, 1, 4 是否为5−连续可表数列? 是否为6−连续可表数列? 说明理由; (2) 若Q: a1, a2, · · · , ak 为8−连续可表数列, 求证: k 的最小值为4; (3) 若Q: a1, a2, · · · , ak 为20−连续可表数列, a1 + a2 + · · · + ak < 20, 求 证: k ⩾7. 1160

原卷配图（含真实几何/应用题图示）