2022年天津

本卷为官方高考数学真题（2022年天津），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 设全集U = {−2, −1, 0, 1, 2}, 集合A = {0, 1, 2}, B = {−1, 2}, 则 ( ∁UB ) = ( ) 5分
   A. ∩ A. {0, 1} B. {0, 1, 2} C. {−1, 1, 2} D. {−1, 0, 1, 2}
2. 2. “x 为整数”是“2x + 1 为整数”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
3. 3. 函数y = |x2 −1| x 的图象大致为 ( ) (A) x 1 y O (B) x 1 y O (C) x 1 y O (D) x 1 y O 5分
4. 4. 将1916 年到2015 年的全球年平均气温(单位: ◦C), 共100 个数 据, 分成6 组: [13.55, 13.75), [13.75, 13.95), [13.95, 14.15), [14.15, 14.35), [14.35, 14.55), [14.55, 14.75], 并整理得到如下的频率分布直方图, 则全球年 平均气温在区间[14.35, 14.75] 内的有 ( ) 频率 组距 0 全球年平均气温/◦C 13.95 14.15 14.35 14.55 14.75 13.75 13.55 0.40 1.30 1.55 0.60 0.50 0.65 5分
   A. 22 年 B. 23 年 C. 25 年 D. 35 年
5. 5. 设a = 20.7, b = (1 3 )0.7 , c = log2 1 3, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a < b < c B. c < a < b C. b < c < a D. c < b < a
6. 6. 化简(2 log4 3 + log8 3) (log3 2 + log9 2) = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 5 C. 2 D. 5
7. 7. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 1) 的左、右焦点分别为F1, F2, 抛物 线y2 = 4 √ 5x 的准线l 经过F1, 且l 与双曲线的一条渐近线交于点A. 若 ∠F1F2A = π 4 , 则双曲线的方程为 ( ) 16 −y2 4 = 1 (B) x2 4 −y2 16 = 1 (C) x2 4 −y2 = 1 4 = 1 5分
   A. x2 D. x2 −y2
8. 8. 〸字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一, 图1 中的故宫角楼的顶 部即为〸字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何 体(图2). 这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD. 在底面BCE 中, 若 BE = CE = 3, ∠BEC = 120◦, 则该几何体的体积为 ( ) 图1 图2 B C E D A 2 √ 3 2 √ 3 5分
   A. 27 B. 27 C. 27 D. 27
9. 9. 关于函数f(x) = 1 2 sin 2x, 给出下列结论: ①f(x) 的最小正周期是2π; ②f(x) 在区间 [ −π 4 , π 4 ] 上单调递增; ③当x ∈ [ −π 6 , π 3 ] 时, f(x) 的取值范围为 [ − √ 3 4 , √ 3 4 ] ; ④f(x) 的图象可以由函数g(x) = 1 2 sin ( 2x + π 4 ) 的图象向左平移π 8 个 单位长度得到. 其中正确结论的个数为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知i 是虚数单位, 化简11 −3i 1 + 2i 的结果为 . 5分
2. 2. 在 (√x + 3 x2 )5 的展开式中, 常数项是 . 5分
3. 3. 若直线x −y + m = 0 (m > 0) 被圆(x −1)2 + (y −1)2 = 3 截得的弦长等 于m, 则m 的值为 . 5分
4. 4. 现有52 张扑克牌(去掉大小王), 每次取一张, 取后不放回, 则两次都抽到 ; 在第一次抽到A 的条件下, 第二次也抽到A 的概率 是 . 5分
   A. 的概率为
5. 5. 在△ABC 中, 点D 为AC 的中点, 点E 满足# » CB = 2# » BE. 记# » CA = a, # » CB = b, 用a, b 表示# » DE = ; 若AB ⊥DE, 则∠ACB 的最大值 为 . 5分
6. 6. 设a ∈R. 对任意实数x, 用f(x) 表示|x| −2, x2 −ax + 3a −5 中的较小 者. 若函数f(x) 至少有3 个零点, 则a 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = √ 6, b = 2c, cos A = −1 4. (1) 求c 的值; (2) 求sin B 的值; (3) 求sin(2A −B) 的值.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AC ⊥AB, 点D, E, F 分别为 A1B1, AA1, CD 的中点, AB = AC = AA1 = 2. (1) 求证: EF 平面ABC; (2) 求直线BE 与平面CC1D 所成角的正弦值; (3) 求平面A1CD 与平面CC1D 夹角的余弦值. B C D A E A1 B1 C1 F 1171
3. 3. 设{an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, 且a1 = b1 = a2 −b2 = a3 −b3 = 1. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 记{an} 的前n 项和为Sn. 求证: (Sn+1 + an+1) bn = Sn+1bn+1 −Snbn; (3) 求 2n ∑ k=1 [ ak+1 −(−1)kak ] bk.
4. 4. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点F、右顶点A 和上顶点B 满足 |BF| |AB| = √ 3 2 . (1) 求椭圆的离心率; (2) 直线l 与椭圆有唯一公共点M, 与y 轴相交于点N (N 异于M). 记 O 为原点, 若|OM| = |ON|, 且△MON 的面积为 √ 3, 求椭圆的方程.
5. 5. 已知a, b ∈R, 函数f(x) = ex −a sin x, g(x) = b√x. (1) 求曲线y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 若曲线y = f(x) 和y = g(x) 有公共点, ①当a = 0 时, 求b 的取值范围; ②求证: a2 + b2 > e. 1172

原卷配图（含真实几何/应用题图示）