2022年新高考1

本卷为官方高考数学真题（2022年新高考1），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合M = {x | √x < 4}, N = {x | 3x ⩾1}, 则M ∩N = ( ) (B) { x  1 3 ⩽x < 2 } (D) { x  1 3 ⩽x < 16 } 5分
   A. {x | 0 ⩽x < 2} C. {x | 3 ⩽x < 16}
2. 2. 若i(1 −z) = 1, 则z + z = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 3. 在△ABC 中, 点D 在边AB 上, BD = 2DA. 记# » CA = m, # » CD = n, 则 # » CB = ( ) 5分
   A. 3m −2n B. −2m + 3n C. 3m + 2n D. 2m + 3n
4. 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题, 其中一部分水蓄入某 水库. 已知该水库水位为海拔148.5 m 时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m 时, 相应水面的面积为180.0 km2. 将该水库在这两个 水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时, 增加的水量约为( √ 7 ≈2.65) ( ) 5分
   A. 1.0 × 109 m3 (B) 1.2 × 109 m3 C. 1.4 × 109 m3 (D) 1.6 × 109 m3
5. 5. 从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数, 则这2 个数互质的概率 为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
6. 6. 记函数f(x) = sin ( ωx + π 4 ) +b (ω > 0) 的最小正周期为T, 若2π 3 < T < π, 且y = f(x) 的图象关于点 (3π 2 , 2 ) 中心对称, 则f (π 2 ) = ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. 3 C. 5 D. 3
7. 7. 设a = 0.1e0.1, b = 1 9, c = −ln 0.9, 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b
8. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l, 其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π, 且3 ⩽l ⩽3 √ 3, 则该四棱锥体积的取值范围是 ( ) (A) [ 18, 81 4 ] (B) [27 4 , 81 4 ] (C) [27 4 , 64 3 ] 二、多选题 5分
   D. [18, 27]
9. 9. 已知正方体ABCD −A1B1C1D1, 则 ( ) 5分
   A. 直线BC1 与DA1 所成的角为90◦ B. 直线BC1 与CA1 所成的角为90◦ C. 直线BC1 与平面BB1D1D 所成的角为45◦ D. 直线BC1 与平面ABCD 所成的角为45◦
10. 10. 已知函数f(x) = x3 −x + 1, 则 ( ) 5分
    A. f(x) 有两个极值点 B. f(x) 有三个零点 C. 点(0, 1) 是曲线y = f(x) 的对称中心 D. 直线y = 2x 是曲线y = f(x) 的切线
11. 11. 已知O 为坐标原点, 点A(1, 1) 在抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 上, 过点 B(0, −1) 的直线交C 于P, Q 两点, 则 ( ) 5分
    A. C 的准线为y = −1 B. 直线AB 与C 相切 C. |OP| · |OQ| > |OA|2 D. |BP| · |BQ| > |BA|2
12. 12. 已知函数f(x) 及其导函数f ′(x) 的定义域均为R, 记g(x) = f ′(x). 若 f (3 2 −2x ) , g(2 + x) 均为偶函数, 则 ( ) ( −1 2 ) = 0 (C) f(−1) = f(4) (D) g(−1) = g(2) 5分
    A. f(0) = 0 B. g

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( 1 −y x ) (x + y)8 的展开式中x2y6 的系数为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 写出与圆x2 + y2 = 1 和(x −3)2 + (y −4)2 = 16 都相切的一条直线的方 程 . 5分
3. 3. 若曲线y = (x+a)ex 有两条过坐标原点的切线, 则a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), C 的上顶点为A, 两个焦点为 F1, F2, 离心率为1 2. 过F1 且垂直于AF2 的直线与C 交于D, E 两点, |DE| = 6, 则△ADE 的周长是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 已知a1 = 1, {Sn an } 是公差为1 3 的等差 数列. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 证明: 1 a1 + 1 a2 + · · · + 1 an < 2.
2. 2. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知 cos A 1 + sin A = sin 2B 1 + cos 2B . (1) 若C = 2π 3 , 求B; (2) 求a2 + b2 c2 的最小值.
3. 3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 的体积为4, △A1BC 的面积为2 √ 2. (1) 求A 到平面A1BC 的距离; (2) 设D 为A1C 的中点, AA1 = AB, 平面A1BC ⊥平面ABB1A1, 求二 面角A −BD −C 的正弦值. A B C A1 B1 C1 D 1173
4. 4. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习 惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组), 同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称 为对照组), 得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1) 能否有99% 的把握认为该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差 异? (2) 从该地的人群中任选一人, A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, P(B | A) 与P(B | A) P(B | A) 的比值是卫生 习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标, 记该指标为R. ①证明: R = P(A | B) P(A | B) · P(A | B) P(A | B); ②利用该调査数据, 给出P(A | B), P(A | B) 的估计值, 并利用①的 结果给出R 的估计值. 附: K2 = n(ad −bc)2 P (K2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 .
5. 5. 已知点A(2, 1) 在双曲线C: x2 a2 − y2 a2 −1 = 1 (a > 1) 上, 直线l 交C 于 P, Q 两点, 直线AP, AQ 的斜率之和为0. (1) 求l 的斜率; (2) 若tan ∠PAQ = 2 √ 2, 求△PAQ 的面积.
6. 6. 已知函数f(x) = ex −ax 和g(x) = ax −ln x 有相同的最小值. (1) 求a; (2) 证明: 存在直线y = b, 其与两条曲线y = f(x) 和y = g(x) 共有三个 不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 1174

原卷配图（含真实几何/应用题图示）