2022年新高考2

本卷为官方高考数学真题（2022年新高考2），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 1, 2, 4}, B = {x | |x −1| ⩽1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−1, 2} B. {1, 2} C. {1, 4} D. {−1, 4}
2. 2. (2 + 2i)(1 −2i) = ( ) 5分
   A. −2 + 4i B. −2 −4i C. 6 + 2i D. 6 −2i
3. 3. 图1 是中国的古建筑中的举架结构, AA′, BB′, CC′, DD′ 是桁, 相邻桁的 水平距离称为步, 垂直距离称为举. 图2 是某古建筑屋顶截面示意图, 其中 DD1, CC1, BB1, AA1 是举, OD1, DC1, CB1, BA1 是相等的步, 相邻桁的 举步之比分别为DD1 OD1 = 0.5, CC1 DC1 = k1, BB1 CB1 = k2, AA1 BA1 = k3. 已知k1, k2, k3 成公差为0.1 的等差数列, 且直线OA 的斜率为0.725, 则k3 = ( ) 图1 O D′ C′ B′ A′ D C B A 图2 x D1 C1 B1 A1 D C B A y O 5分
   A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
4. 4. 已知向量a = (3, 4), b = (1, 0), c = a + tb, 若⟨a, c⟩= ⟨b, c⟩, 则t = ( ) 5分
   A. −6 B. −5 C. 5 D. 6
5. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演, 若甲不站在两端, 丙 和丁相邻, 则不同排列方式共有 ( ) 5分
   A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
6. 6. 若sin(α + β) + cos(α + β) = 2 √ 2 cos ( α + π 4 ) sin β, 则 ( ) 5分
   A. tan(α −β) = 1 B. tan(α + β) = 1 C. tan(α −β) = −1 D. tan(α + β) = −1
7. 7. 已知正三棱台的高为1, 上、下底面的边长分别为3 √ 3 和4 √ 3, 其顶点都 在同一球面上, 则该球的表面积为 ( ) 5分
   A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
8. 8. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且f(x+y)+f(x−y) = f(x)f(y), f(1) = 1, 则 22 ∑ k=1 f(k) = ( ) 二、多选题 5分
   A. −3 B. −2 C. 0 D. 1
9. 9. 已知函数f(x) = sin(2x + φ) (0 < φ < π) 的图象关于点 (2π 3 , 0 ) 中心对 称, 则 ( ) ( 0, 5π 12 ) 单调递减 ( −π 12, 11π 12 ) 有两个极值点 6 是曲线y = f(x) 的对称轴 √ 3 2 −x 是曲线y = f(x) 的切线 5分
   A. f(x) 在区间 B. f(x) 在区间 C. 直线x = 7π D. 直线y =
10. 10. 已知O 为坐标原点, 过抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 焦点F 的直线与C 交 于A, B 两点, 其中A 在第一象限, 点M(p, 0). 若|AF| = |AM|, 则( ) √ 6 5分
    A. 直线AB 的斜率为2 B. |OB| = |OF| C. |AB| > 4|OF| D. ∠OAM + ∠OBM < 180◦
11. 11. 如图, 四边形ABCD 为正方形, ED ⊥平面ABCD, FB ED, AB = ED = 2FB. 记三棱锥E −ACD, F −ABC, F −ACE 的体 积分别为V1, V2, V3, 则 ( ) A B C E F D 5分
    A. V3 = 2V2 B. V3 = V1 C. V3 = V1 + V2 (D) 2V3 = 3V1
12. 12. 若x, y 满足x2 + y2 −xy = 1, 则 ( ) 5分
    A. x + y ⩽1 B. x + y ⩾−2 C. x2 + y2 ⩽2 D. x2 + y2 ⩾1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知随机变量X 服从正态分布N (2, σ2), 且P(2 < X ⩽2.5) = 0.36, 则 P(X > 2.5) = . 5分
2. 2. 曲线y = ln |x| 经过坐标原点的两条切线的方程分别为 , . 5分
3. 3. 设点A(−2, 3), B(0, a), 若直线AB 关于y = a 对称的直线与圆(x + 3)2 + (y + 2)2 = 1 有公共点, 则a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知直线l 与椭圆x2 6 + y2 3 = 1 在第一象限交于A, B 两点, l 与x 轴、 y 轴分别交于M, N 两点, 且|MA| = |NB|, |MN| = 2 √ 3, 则l 的方程 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是等差数列, {bn} 是公比为2 的等比数列, 且a2−b2 = a3−b3 = b4 −a4. (1) 证明: a1 = b1; (2) 求集合{k | bk = am + a1, 1 ⩽m ⩽500} 中元素的个数.
2. 2. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 分别以a, b, c 为边长的三 个正三角形的面积依次为S1, S2, S3. 已知S1 −S2 + S3 = √ 3 2 , sin B = 1 3. (1) 求△ABC 的面积; (2) 若sin A sin C = √ 2 3 , 求b. 1175
3. 3. 在某地区进行流行病学调查, 随机调查了100 位某种疾病患者的年龄, 得 到如下的样本数据的频率分布直方图. 频率 组距 0 年龄/岁 0.001 0.012 0.023 0.020 0.017 0.006 0.002 10 20 30 40 50 60 70 80 90 (1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组中的数据用该区间的中 点值为代表) (2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20, 70) 的概率; (3) 已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%, 该地区年龄位于区间 [40, 50) 的人口占该地区总人口的16%. 从该地区中任选一人, 若此人的年 龄位于区间[40, 50), 求此人患这种疾病的概率. (以样本数据中患者的年龄 位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率, 精确到0.0001)
4. 4. 如图, PO 是三棱锥P −ABC 的高, PA = PB, AB ⊥AC, E 为PB 的 中点. (1) 证明: OE 平面PAC; (2) 若∠ABO = ∠CBO = 30◦, PO = 3, PA = 5, 求二面角C −AE −B 正弦值. A B C E P O
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F(2, 0), 渐近线方 程为y = ± √ 3x. (1) 求C 的方程; (2) 过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A, B 两点, 点P (x1, y1), Q (x2, y2) 在C 上, 且x1 > x2 > 0, y1 > 0. 过P 且斜率为− √ 3 的直线 与过Q 且斜率为 √ 3 的直线交于点M. 从下面①②③中选取两个作为条 件, 证明另外一个成立. ①M 在AB 上; ②PQ AB; ③|MA| = |MB|.
6. 6. 已知函数f(x) = xeax −ex. (1) 当a = 1 时, 讨论f(x) 的单调性; (2) 当x > 0 时, f(x) < −1, 求a 的取值范围; (3) 设n ∈N∗, 证明: 1 √ 12 + 1 + 1 √ 22 + 2 + · · · + 1 √ n2 + n > ln(n + 1). 1176

原卷配图（含真实几何/应用题图示）