2022年浙江

本卷为官方高考数学真题（2022年浙江），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2}, B = {2, 4, 6}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. {2} B. {1, 2} C. {2, 4, 6} D. {1, 2, 4, 6}
2. 2. 已知a, b ∈R, a + 3i = (b + i)i (i 为虚数单位), 则 ( ) 5分
   A. a = 1, b = −3 B. a = −1, b = 3 C. a = −1, b = −3 D. a = 1, b = 3
3. 3. 若实数x, y 满足约束条件        x −2 ⩾0, 2x + y −7 ⩽0, x −y −2 ⩽0, 则z = 3x + 4y 的最大值 是 ( ) 5分
   A. 20 B. 18 C. 13 D. 6
4. 4. 设x ∈R, 则“sin x = 1”是“cos x = 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积(单位: cm3) 是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 π 3 π 5分
   A. 22π B. 8π C. 22 D. 16
6. 6. 为了得到函数y = 2 sin 3x 的图象, 只要把函数y = 2 sin ( 3x + π 5 ) 图象上 所有的点 ( ) 5 个单位长度 5 个单位长度 15 个单位长度 15 个单位长度 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
7. 7. 已知2a = 5, log8 3 = b, 则4a−3b = ( ) 9 3 5分
   A. 25 B. 5 C. 25 D. 5
8. 8. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1, AC = AA1, E, F 分别是棱BC, A1C1 上的点. 记EF 与AA1 所成的角为α, EF 与平面ABC 所成的角 为β, 二面角F −BC −A 的平面角为γ, 则 ( ) A F C B E A1 C1 B1 5分
   A. α ⩽β ⩽γ B. β ⩽α ⩽γ C. β ⩽γ ⩽α D. α ⩽γ ⩽β
9. 9. 已知a, b ∈R, 若对任意x ∈R, a|x −b| + |x −4| −|2x −5| ⩾0, 则( ) 5分
   A. a ⩽1, b ⩾3 B. a ⩽1, b ⩽3 C. a ⩾1, b ⩾3 D. a ⩾1, b ⩽3
10. 10. 已知数列{an} 满足a1 = 1, an+1 = an −1 3a2 n (n ∈N∗), 则 ( ) 2 2 < 100a100 < 3 2 2 < 100a100 < 4 5分
    A. 2 < 100a100 < 5 B. 5 C. 3 < 100a100 < 7 D. 7

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 我国南宋著名数学家秦九韶, 发现了从三角形三边求面积的公式, 他把这 种方法称为“三斜求积”, 它填补了我国传统数学的一个空白. 如果把这个方 法写成公式, 就是S = v u u t1 4 [ c2a2 − (c2 + a2 −b2 2 )2] , 其中a, b, c 是三角 形的三边, S 是三角形的面积. 设某三角形的三边a = √ 2, b = √ 3, c = 2, 则该三角形的面积S = . 5分
2. 2. 已知多项式(x + 2)(x −1)4 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5, 则 a2 = , a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = . 5分
3. 3. 若3 sin α −sin β = √ 10, α + β = π 2 , 则sin α = , cos 2β = . 5分
4. 4. 已知函数f(x) =    −x2 + 2, x ⩽1, x + 1 x −1, x > 1, 则f ( f (1 2 )) = ; 若当 x ∈[a, b] 时, 1 ⩽f(x) ⩽3, 则b −a 的最大值是 . 5分
5. 5. 现有7 张卡片, 分别写上数字1, 2, 2, 3, 4, 5, 6. 从这7 张卡片中随 机抽取3 张, 记所抽取卡片上数字的最小值为ξ, 则P(ξ = 2) = , E(ξ) = . 5分
6. 6. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左焦点为F, 过F 且斜率为 b 4a 的直线交双曲线于点A (x1, y1), 交双曲线的渐近线于点B (x2, y2) 且 x1 < 0 < x2. 若|FB| = 3|FA|, 则双曲线的离心率是 . 5分
7. 7. 设点P 在单位圆的内接正八边形A1A2 · · · A8 的边A1A2 上, 则# » PA1 2 + # » PA2 2 + · · · + # » PA8 2 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知4a = √ 5c, cos C = 3 5. (1) 求sin A 的值; (2) 若b = 11, 求△ABC 的面积.
2. 2. 如图, 已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形, AB DC, DC EF, AB = 5, DC = 3, EF = 1, ∠BAD = ∠CDE = 60◦, 二面角F −DC −B 的平面角为60◦. 设M, N 分别为AE, BC 的中点. (1) 证明: FN ⊥AD; (2) 求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值. A B C E F D N M 1177
3. 3. 已知等差数列{an} 的首项a1 = −1, 公差d > 1. 记{an} 的前n 项和为 Sn (n ∈N∗). (1) 若S4 −2a2a3 + 6 = 0, 求Sn; (2) 若对于每个n ∈N∗, 存在实数cn, 使an + cn, an+1 + 4cn, an+2 + 15cn 成等比数列, 求d 的取值范围.
4. 4. 如图, 已知椭圆x2 12 + y2 = 1. 设A, B 是椭圆上异于P(0, 1) 的两点, 且点 Q ( 0, 1 2 ) 在线段AB 上, 直线PA, PB 分别交直线y = −1 2x + 3 于C, (1) 求点P 到椭圆上点的距离的最大值; (2) 求|CD| 的最小值. x y P D C A B Q O
5. 5. 设函数f(x) = e 2x + ln x (x > 0). (1) 求f(x) 的单调区间; (2) 已知a, b ∈R, 曲线y = f(x) 上不同的三点(x1, f (x1)), (x2, f (x2)), (x3, f (x3)) 处的切线都经过点(a, b). 证明: ①若a > e, 则0 < b −f(a) < 1 2 (a ) ; ②若0 < a < e, x1 < x2 < x3, 则2 6e2 < 1 x1 + 1 x3 < 2 6e2 . (注: e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数) 1178

原卷配图（含真实几何/应用题图示）