2023年上海

本卷为官方高考数学真题（2023年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设x ∈R, 不等式|x −2| < 1 的解集为 . 5分
2. 2. 若向量#»a = (−2, 3), #»b = (1, 2), 则#»a · #»b = . 5分
3. 3. 若数列{an} 是首项为3, 公比为2 的等比数列, 其前n 项和为Sn, 则 S6 = . 5分
4. 4. 若tan A = 3, 则tan 2A = . 5分
5. 5. 函数y = { 2x, x > 0, 1, x ⩽0, 的值域为 . 5分
6. 6. 若复数z = 1 + i (i 为虚数单位), 则|1 −iz| = . 5分
7. 7. 设m ∈R, 若圆x2 + y2 −4y −m = 0 的面积为π, 则m = . 5分
8. 8. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对边的边长分别为a、b、c. 若a = 4, b = 5, . 5分
   C. = 6, 则sin A =
9. 9. 国内生产总值(GDP) 是衡量该地区经济状况的最佳指标. 根据统计数据 显示, 某市在2020 年间经济高质量增长, GDP 稳定增长, 第一季度和第四 季度的GDP 分别为232 亿元和241 亿元, 且四个季度的GDP 逐季度增 长, 若这四个季度的GDP 的中位数与平均数相等, 则该市2020 年的GDP 为 亿元. 5分
10. 10. 已知对任意给定的实数x, 都有(1+2023x)100 +(2023−x)100 = a0 +a1x+ a2x2 + · · · + a100x100, 当ak < 0 时, 其中k ∈{0, 1, 2, 3, · · · , 100}, 正整 数k 的最大值为 . 5分
11. 11. 某公园欲建设一段斜坡, 斜坡面是一平面, 坡面与水平地面所成角为θ, 坡 顶距水平地面的高度为4 m. 游客从坡底沿着斜坡面向上直行, 每走1 m 消耗的体力为1.025 −cos θ, 当θ = 时, 游客走斜坡所消耗的体力最 小. 5分
12. 12. 空间中有三个定点A、B、C, 且AB = BC = CA = 1, 若在空间中任取2 个不同的点, 使得它们与A、B、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点, 则 不同的取法共有 种. 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知集合P = {1, 2}, Q = {2, 3}, 若M = {x | x ∈P 且x /∈Q}, 则 M = ( ) 5分
   A. {1} B. {2} C. {3} D. {1, 2, 3}
2. 2. 为了解某校高中男生身高与体重的关系, 随机选取50 名男生的身高与体 重的数据, 绘制散点图, 如图所示, 下列说法正确的是 ( ) 170 180 190 195 160 165 175 185 身高 体重 0 20 40 60 80 100 • •• • • • • • • ••• •• •• •• •• • • • • •• • • •• • •• • • •• • • • • 5分
   A. 身高越高, 体重越重 B. 身高越高, 体重越轻 C. 身高与体重之间呈正相关 D. 身高与体重之间呈负相关
3. 3. 已知a > 0, 函数y = sin x 在区间[a, 2a] 上的最小值为s, 在区间[2a, 3a] 上的最小值为t, 当a 变化时, 下列一定不成立的是 ( ) 5分
   A. s > 0, t > 0 B. s > 0, t < 0 C. s < 0, t < 0 D. s < 0, t > 0
4. 4. 对于曲线C, 若存在点M, 使得对任意的点P ∈C, 都存在Q ∈C, 且 |PM| · |QM| = 1, 则称曲线C 为“自相关曲线”. 有以下结论: ①任何椭圆 都是“自相关曲线”; ②存在双曲线是“自相关曲线”. 关于上述两个结论, 说 法正确的是 ( ) 5分
   A. ①成立, ②成立 B. ①成立, ②不成立 C. ①不成立, ②成立 D. ①不成立, ②不成立

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB DC, AB ⊥AD, AB = 2, AD = 3, DC = 4. (1) 求证: A1B 平面DCC1D1; (2) 若直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的体积为36, 求二面角A1 −BD −A 的大小. A B C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 设a、c ∈R, f(x) = x2 + (3a + 1)x + c x + a . (1) 当a = 0 时, 是否存在实数c, 使得y = f(x) 为奇函数, 请说明理由; (2) 若函数y = f(x) 的图象过点(1, 3), 且其与x 轴的负半轴有两个不同 的交点, 求c 的值及a 的取值范围. 1189
3. 3. 2023 年6 月7 日, 21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共 有25 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 红色外观 蓝色外观 米色内饰 12 8 棕色内饰 2 3 (1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个, 记事件A 为取到红色外观的汽 车模型, 事件B 为取到棕色内饰的汽车模型, 求P(B) 和P(B | A), 并据 此判断事件A 和B 是否独立; (2) 该公司举行抽奖活动, 规定在一次抽奖中, 每人可以从这些汽车模型中 随机取出两个汽车模型, 并给出以下假设: 假设1: 取出的两个汽车模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外 观和内饰均不为同色及仅外观或仅内饰为同色; 假设2: 按出现结果的可能性大小, 概率越小奖项越高; 假设3: 抽奖活动的奖金额为: 一等奖600 元、二等奖300 元、三等奖150 元. 请你分析各奖项对应的结果, 设X 为奖金额, 写出X 的分布并求其数学 期望.
4. 4. 已知抛物线Γ: y2 = 4x, A 为第一象限内Γ 上的一点, 设点A 的纵坐标为 a. (1) 若点A 到Γ 的准线的距离为3, 求a 的值; (2) 若a = 4, B 为x 轴上的一点, 且线段AB 的中点在Γ 上, 求点B 的 坐标及原点O 到直线AB 的距离; (3) 直线l: x = −3, P 是第一象限内Γ 上异于点A 的动点, 直线AP 与l 交于点Q, 点H 为点P 在l 上的投影, 若点A 满足: |HQ| > 4 对任意的 点P 成立, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知f(x) = ln x. 曲线y = f(x) 在点(a1, f (a1)) 处的切线交y 轴于点 (0, a2), 且a2 > 0, 曲线y = f(x) 在点(a2, f (a2)) 处的切线交y 轴于点 (0, a3), 以此类推, 直至am ⩽0 时, 则停止操作, 得到数列{an}, 其中m、 n 为正整数, 1 < n ⩽m. (1) 证明: 当n ⩾2 时, an = ln an−1 −1; (2) 当n ⩾2 时, 试比较an 和an−1 −2 的大小, 请说明理由; (3) 是否存在不小于3 的正整数k, 使得a1, a2, a3, · · · , ak 成等差数列? 若 存在, 求出k 的所有取值; 若不存在, 请说明理由. 1190

原卷配图（含真实几何/应用题图示）