2023年全国乙卷（文科）

本卷为官方高考数学真题（2023年全国乙卷（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. |2 + i2 + 2i3| = ( ) (C) √ 5 5分
   A. 1 B. 2 D. 5
2. 2. 设全集U = {0, 1, 2, 4, 6, 8}, 集合M = {0, 4, 6}, N = {0, 1, 6}, 则 M ∪∁UN = ( ) 5分
   A. {0, 2, 4, 6, 8}(B) {0, 1, 4, 6, 8}(C) {1, 2, 4, 6, 8}(D) U
3. 3. 如图, 网格纸上绘制的是一个零件的三视图, 网格小正方形的边长为1, 则 该零件的表面积为 ( ) 5分
   A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
4. 4. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若a cos B −b cos A = c, 且C = π 5 , 则B = ( ) 10 5 10 5 5分
   A. π B. π C. 3π D. 2π
5. 5. 已知f(x) = xex eax −1 是偶函数, 则a = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
6. 6. 已知正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点, 则# » EC · # » ED = ( ) (A) √ 5 √ 5 5分
   B. 3 C. 2 D. 5
7. 7. 设O 为平面直角坐标系的坐标原点, 在区域{(x, y) | 1 ⩽x2 + y2 ⩽4} 内 随机取一点, 记该点为A, 则直线OA 的倾斜角不大于π 4 的概率为 ( ) 8 6 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
8. 8. 若函数f(x) = x3 + ax + 2 存在3 个零点, 则a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, −2) B. (−∞, −3) C. (−4, −1) D. (−3, 0)
9. 9. 某学校举办作文比赛, 共设6 个主题, 每位参赛同学从中随机抽取一个主 题准备作文. 则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. 5 B. 2 C. 1 D. 1
10. 10. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间 (π 6 , 2π 3 ) 单调递增, 直线x = π 6 和 x = 2π 3 为函数y = f(x) 的图象的两条对称轴, 则f ( −5π 12 ) = ( ) √ 3 2 2 2 (D) √ 3 2 5分
    A. − B. −1 C. 1
11. 11. 已知x, y 满足x2 + y2 −4x −2y −4 = 0, 则x −y 的最大值是 ( ) √ 2 2 √ 2 5分
    A. 1 + 3 B. 4 C. 1 + 3 D. 7
12. 12. 设A, B 为双曲线x2 −y2 9 = 1 上两点, 下列四个点中, 可以为线段AB 中 点的是 ( ) 5分
    A. (1, 1) B. (−1, 2) C. (1, 3) D. (−1, −4)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知点A(1, √ 5) 在抛物线C: y2 = 2px 上, 则A 到C 的准线的距离 为 . 5分
2. 2. 若θ ∈ ( 0, π 2 ) , tan θ = 1 3, 则sin θ −cos θ = . 5分
3. 3. 若x, y 满足约束条件        x −3y ⩽−1, x + 2y ⩽9, 3x + y ⩾7, 则z = 2x −y 的最大值为 . 5分
4. 4. 已知点S, A, B, C 均在半径为2 的球面上, △ABC 是边长为3 的等边三 角形, SA ⊥平面ABC, 则SA = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行10 次配对 试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用 甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲、 乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi, yi (i = 1, 2, · · · , 10). 试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi = xi −yi (i = 1, 2, · · · , 10), 记z1, z2, · · · , z10 的样本平均数为z, 样本方差为s2. (1) 求z, s2; (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的 伸缩率是否有显著提高(如果z ⩾2 √ s2 10, 则认为甲工艺处理后的橡胶产 品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高, 否则不认为 有显著提高).
2. 2. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 已知a2 = 11, S10 = 40. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求数列{|an|} 的前n 项和Tn.
3. 3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB ⊥BC, AB = 2, BC = 2 √ 2, PB = PC = √ 6, BP, AP, BC 的中点分别为D, E, O, 点F 在AC 上, BF ⊥AO. (1) 证明: EF 平面ADO; (2) 若∠POF = 120◦, 求三棱锥P −ABC 的体积. B O C A E P F D 1187
4. 4. 已知函数f(x) = (1 x + a ) ln(1 + x). (1) 当a = −1 时, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程; (2) 若f(x) 在(0, +∞) 单调递增, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知椭圆C: y2 a2 + x2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 5 3 , 点A(−2, 0) 在C 上. (1) 求C 的方程; (2) 过点(−2, 3) 的直线交C 于P, Q 两点, 直线AP, AQ 与y 轴的交点 分别为M, N, 证明: 线段MN 的中点为定点.
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系, 曲线C1 的极坐标方程为ρ = 2 sin θ (π 4 ⩽θ ⩽π 2 ) . 曲线C2: { x = 2 cos α, y = 2 sin α, (α 为参数, π 2 < α < π). (1) 写出C1 的直角坐标方程; (2) 若直线y = x + m 既与C1 没有公共点, 也与C2 没有公共点, 求m 的 取值范围.
7. 7. 已知f(x) = 2|x| + |x −2|. (1) 求不等式f(x) ⩽6 −x 的解集; (2) 在直角坐标系xOy 中, 求不等式组 { f(x) ⩽y, x + y −6 ⩽0 所确定的平面区域 的面积. 1188

原卷配图（含真实几何/应用题图示）