本卷为官方高考数学真题（2023年全国乙卷（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设z =
2 + i
1 + i2 + i5 , 则z =
(
) 5分
A. 1 −2i
B. 1 + 2i
C. 2 −i
D. 2 + i
-
2. 设全集U = R, 集合M = {x | x < 1}, N = {x | −1 < x < 2}, 则
{x | x ⩾2} =
(
) 5分
A. ∁U(M ∪N)
B. N ∪∁UM
C. ∁U(M ∩N)
D. M ∪∁UN
-
3. 如图, 网格纸上绘制的是一个零件的三视图, 网格小正方形的边长为1, 则
该零件的表面积为
(
) 5分
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
-
4. 已知f(x) =
xex
eax −1 是偶函数, 则a =
(
) 5分
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
-
5. 设O 为平面直角坐标系的坐标原点, 在区域{(x, y) | 1 ⩽x2 + y2 ⩽4} 内
随机取一点, 记该点为A, 则直线OA 的倾斜角不大于π
4 的概率为
(
)
8
6
4
2 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
-
6. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ) 在区间
(π
6 , 2π
3
)
单调递增, 直线x = π
6 和
x = 2π
3 为函数y = f(x) 的图象的两条对称轴, 则f
(
−5π
12
)
=
(
)
√
3
2
2
2
(D)
√
3
2 5分
A. −
B. −1
C. 1
-
7. 甲、乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种, 则这两人选读的课外读
物中恰有1 种相同的选法共有
(
) 5分
A. 30 种
B. 60 种
C. 120 种
D. 240 种
-
8. 已知圆锥PO 的底面半径为
√
3, O 为底面圆心, PA, PB 为圆锥的母线,
∠AOB = 120◦, 若△PAB 的面积等于9
√
3
4 , 则该圆锥的体积为
(
)
(B)
√
6π
√
6π 5分
A. π
C. 3π
D. 3
-
9. 已知△ABC 为等腰直角三角形, AB 为斜边, △ABD 为等边三角形. 若
二面角C −AB −D 为150◦, 则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值
为
(
)
5
(B)
√
2
5
(C)
√
3
5
5 5分
A. 1
D. 2
-
10. 已知等差数列{an} 的公差为2π
3 , 集合S = {cos an | n ∈N∗}. 若S =
{a, b}, 则ab =
(
)
2
2 5分
A. −1
B. −1
C. 0
D. 1
-
11. 设A, B 为双曲线x2 −y2
9 = 1 上两点, 下列四个点中, 可以为线段AB 中
点的是
(
) 5分
A. (1, 1)
B. (−1, 2)
C. (1, 3)
D. (−1, −4)
-
12. 已知⊙O 的半径为1, 直线PA 与⊙O 相切于点A, 直线PB 与⊙O 交于
B, C 两点, D 为BC 的中点. 若|PO| =
√
2, 则# »
PA · # »
PD 的最大值为(
)
2 +
√
2
2
2 +
√
2
√
2
√
2 5分
A. 1
B. 1
C. 1 +
D. 2 +
-
1. 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行10 次配对
试验, 每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用
甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲、
乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi, yi (i = 1, 2, · · · , 10).
试验结果如下:
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi = xi −yi (i = 1, 2, · · · , 10), 记z1, z2, · · · , z10 的样本平均数为z,
样本方差为s2.
(1) 求z, s2;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的
伸缩率是否有显著提高(如果z ⩾2
√
s2
10, 则认为甲工艺处理后的橡胶产
品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高, 否则不认为
有显著提高).
-
2. 在△ABC 中, 已知∠BAC = 120◦, AB = 2, AC = 1.
(1) 求sin ∠ABC;
(2) 若D 为BC 上一点, 且∠BAD = 90◦, 求△ADC 的面积.
-
3. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, AB ⊥BC, AB = 2, BC = 2
√
2,
PB = PC =
√
6, BP, AP, BC 的中点分别为D, E, O, AD =
√
5DO, 点
(1) 证明: EF
平面ADO;
(2) 证明: 平面ADO ⊥平面BEF;
(3) 求二面角D −AO −C 的正弦值.
B
O
C
A
E
P
F
D
1185
-
4. 已知椭圆C: y2
a2 + x2
b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为
√
5
3 , 点A(−2, 0) 在C
上.
(1) 求C 的方程;
(2) 过点(−2, 3) 的直线交C 于P, Q 两点, 直线AP, AQ 与y 轴的交点
分别为M, N, 证明: 线段MN 的中点为定点.
-
5. 已知函数f(x) =
(1
x + a
)
ln(1 + x).
(1) 当a = −1 时, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 是否存在a, b, 使得曲线y = f
(1
x
)
关于直线x = b 对称? 若存在, 求
a, b; 若不存在, 说明理由;
(3) 若f(x) 在(0, +∞) 存在极值点, 求a 的取值范围.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系, 曲线C1 的极坐标方程为ρ = 2 sin θ
(π
4 ⩽θ ⩽π
2
)
.
曲线C2:
{
x = 2 cos α,
y = 2 sin α,
(α 为参数, π
2 < α < π).
(1) 写出C1 的直角坐标方程;
(2) 若直线y = x + m 既与C1 没有公共点, 也与C2 没有公共点, 求m 的
取值范围.
-
7. 已知f(x) = 2|x| + |x −2|.
(1) 求不等式f(x) ⩽6 −x 的解集;
(2) 在直角坐标系xOy 中, 求不等式组
{
f(x) ⩽y,
x + y −6 ⩽0
所确定的平面区域
的面积.
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