本卷为官方高考数学真题（2023年全国甲卷（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合M = {1, 4}, N = {2, 5}, 则
N ∪∁UM =
(
) 5分
A. {2, 3, 5}
B. {1, 3, 4}
C. {1, 2, 4, 5}
D. {2, 3, 4, 5}
-
2. 5(1 + i3)
(2 + i)(2 −i) =
(
) 5分
A. −1
B. 1
C. 1 −i
D. 1 + i
-
3. 已知向量a = (3, 1), b = (2, 2), 则cos⟨a + b, a −b⟩=
(
)
17
(B)
√
17
17
(C)
√
5
5
√
5
5 5分
A. 1
D. 2
-
4. 某校文艺部有4 名学生, 其中高一、高二年级各2 名. 从这4 名学生中随
机选2 名组织校文艺汇演, 则这2 名学生来自不同年级的概率为
(
)
6
3
2
3 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
5. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 若a2 + a6 = 10, a4a8 = 45, 则
S5 =
(
) 5分
A. 25
B. 22
C. 20
D. 15
-
6. 执行如图的程序框图, 则输出的B =
(
)
开始
输入n = 3, A = 1, B = 2, k = 1
k ⩽n
k = k + 1
输出B
结束
是
否 5分
A. = A + B
B. = A + B
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
-
7. 设F1, F2 为椭圆C:
x2
5 + y2 = 1 的两个焦点, 点P 在C 上, 若
# »
PF1 · # »
PF2 = 0, 则|PF1| · |PF2| =
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
-
8. 曲线y =
ex
x + 1 在点
(
1, e
2
)
处的切线方程为
(
)
4x
2x
4x + e
4
2x + 3e
4 5分
A. y = e
B. y = e
C. y = e
D. y = e
-
9. 已知双曲线C: x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为
√
5, C 的一条渐
近线与圆(x −2)2 + (y −3)2 = 1 交于A, B 两点, 则|AB| =
(
)
(A)
√
5
5
√
5
5
√
5
5
√
5
5 5分
B. 2
C. 3
D. 4
-
10. 在三棱锥P −ABC 中, △ABC 是边长为2 的等边三角形, PA = PB = 2,
PC =
√
6, 则该棱锥的体积为
(
)
(B)
√
3 5分
A. 1
C. 2
D. 3
-
11. 已知函数f(x) = e−(x−1)2. 记a = f
(√
2
2
)
, b = f
(√
3
2
)
, c = f
(√
6
2
)
,
则
(
) 5分
A. b > c > a
B. b > a > c
C. c > b > a
D. c > a > b
-
12. 函数y = f(x) 的图象由函数y = cos
(
2x + π
6
)
的图象向左平移π
6 个单
位长度得到, 则y = f(x) 的图象与直线y = 1
2x −1
2 的交点个数为
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
1. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知b2 + c2 −a2
cos A
= 2.
(1) 求bc;
(2) 若a cos B −b cos A
-
2. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, A1C ⊥平面ABC, ∠ACB = 90◦.
(1) 证明: 平面ACC1A1 ⊥平面BB1C1C;
(2) 设AB = A1B, AA1 = 2, 求四棱锥A1 −BB1C1C 的高.
C
B
A
C1
B1
A1
-
3. 一项试验旨在研究臭氧效应, 试验方案如下: 选40 只小白鼠, 随机地将其
中20 只分配到试验组, 另外20 只分配到对照组, 试验组的小白鼠饲养在
高浓度臭氧环境, 对照组的小白鼠饲养在正常环境, 一段时间后统计每只
小白鼠体重的增加量(单位: g). 试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5
(1) 计算试验组的样本平均数;
(2) ①求40 只小白鼠体重的增加量的中位数m, 再分别统计两样本中小
于m 与不小于m 的数据的个数, 完成如下列联表:
< m
⩾m
对照组
试验组
②根据①中的列联表, 能否有95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环
境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附: K2 =
n(ad −bc)2
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
1183
-
4. 已知函数f(x) = ax −sin x
cos2 x, x ∈
(
0, π
2
)
.
(1) 当a = 1 时, 讨论f(x) 的单调性;
(2) 若f(x) + sin x < 0, 求a 的取值范围.
-
5. 已知直线x −2y + 1 = 0 与抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 交于A, B 两点,
|AB| = 4
√
15.
(1) 求p;
(2) 设F 为C 的焦点, M, N 为C 上两点, 且# »
FM · # »
FN = 0, 求△MFN
面积的最小值.
-
6. 已知点P(2, 1), 直线l:
{
x = 2 + t cos α,
y = 1 + t sin α,
(t 为参数), α 为l 的倾斜角, l
与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A, B, 且|PA| · |PB| = 4.
(1) 求α;
(2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求l 的极坐标方
程.
-
7. 设a > 0, 函数f(x) = 2|x −a| −a.
(1) 求不等式f(x) < x 的解集;
(2) 若曲线y = f(x) 与x 轴所围成的图形的面积为2, 求a.
1184
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