2023年全国甲卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2023年全国甲卷（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设全集 U = Z, 集合 M = {x | x = 3k + 1, k ∈Z}, N = {x | x = 3k + 2, k ∈Z}, 则∁U(M ∪N) = ( ) 5分
   A. {x | x = 3k, k ∈Z} B. {x | x = 3k −1, k ∈Z} C. {x | x = 3k −2, k ∈Z} D. ∅
2. 2. 设a ∈R, (a + i)(1 −ai) = 2, 则a = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 3. 执行如图的程序框图, 则输出的B = ( ) 开始 输入n = 3, A = 1, B = 2, k = 1 k ⩽n k = k + 1 输出B 结束 是 否 5分
   A. = A + B B. = A + B A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
4. 4. 已知向量a, b, c 满足|a| = |b| = 1, |c| = √ 2, 且a + b + c = 0, 则 cos⟨a −c, b −c⟩= ( ) 5 5 5 5 5分
   A. −4 B. −2 C. 2 D. 4
5. 5. 设等比数列{an} 的各项均为正数, 前n 项和为Sn, 若a1 = 1, S5 = 5S3−4, 则S4 = ( ) 8 8 5分
   A. 15 B. 65 C. 15 D. 40
6. 6. 某地的中学生中有60% 的同学爱好滑冰, 50% 的同学爱好滑雪, 70% 的同 学爱好滑冰或爱好滑雪. 在该地的中学生中随机调查一位同学, 若该同学 爱好滑雪, 则该同学也爱好滑冰的概率为 ( ) 5分
   A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
7. 7. 设甲: sin2 α + sin2 β = 1, 乙: sin α + cos β = 0, 则 ( ) 5分
   A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 8. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 5, C 的一条渐 近线与圆(x −2)2 + (y −3)2 = 1 交于A, B 两点, 则|AB| = ( ) (A) √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 √ 5 5 5分
   B. 2 C. 3 D. 4
9. 9. 现有5 名志愿者报名参加公益活动, 在某一星期的星期六、星期日两天, 每 天从这5 人中安排2 人参加公益活动, 则恰有1 人在这两天都参加的不同 安排方式共有 ( ) 5分
   A. 120 种 B. 60 种 C. 30 种 D. 20 种
10. 10. 函数y = f(x) 的图象由函数y = cos ( 2x + π 6 ) 的图象向左平移π 6 个单 位长度得到, 则y = f(x) 的图象与直线y = 1 2x −1 2 的交点个数为 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 11. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是边长为4 的正方形, PC = PD = 3, ∠PCA = 45◦, 则△PBC 面积为 ( ) √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 5分
    A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
12. 12. 设O 为坐标原点, F1, F2 为椭圆C: x2 9 + y2 6 = 1 的两个焦点, 点P 在C 上, cos ∠F1PF2 = 3 5, 则|OP| = ( ) 5 (B) √ 30 2 5 (D) √ 35 2 5分
    A. 13 C. 14

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若f(x) = (x −1)2 + ax + sin ( x + π 2 ) 为偶函数, 则a = . 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        3x −2y ⩽3, −2x + 3y ⩽3, x + y ⩾1, 则z = 3x+2y 的最大值为 . 5分
3. 3. 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F 分别为AB, C1D1 的中点. 以 EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点. 5分
4. 4. 在△ABC 中, ∠BAC = 60◦, AB = 2, BC = √ 6, ∠BAC 的角平分线交 BC 于D, 则AD = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 已知a2 = 1, 2Sn = nan. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求数列 {an+1 2n } 的前n 项和Tn.
2. 2. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, A1C ⊥平面ABC, ∠ACB = 90◦, AA1 = 2, A1 到平面BCC1B1 的距离为1. (1) 证明: A1C = AC; (2) 已知AA1 与BB1 的距离为2, 求AB1 与平面BCC1B1 所成角的正 弦值. C B A C1 B1 A1
3. 3. 一项试验旨在研究臭氧效应, 试验方案如下: 选40 只小白鼠, 随机地将其 中20 只分配到试验组, 另外20 只分配到对照组, 试验组的小白鼠饲养在 高浓度臭氧环境, 对照组的小白鼠饲养在正常环境, 一段时间后统计每只 小白鼠体重的增加量(单位: g). (1) 设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数, 求X 的分布列 和数学期望; (2) 试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 ①求40 只小白鼠体重的增加量的中位数m, 再分别统计两样本中小 于m 与不小于m 的数据的个数, 完成如下列联表: < m ⩾m 对照组 试验组 ②根据①中的列联表, 能否有95% 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环 境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附: K2 = n(ad −bc)2 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 1181
4. 4. 已知直线x −2y + 1 = 0 与抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 交于A, B 两点, |AB| = 4 √ 15. (1) 求p; (2) 设F 为C 的焦点, M, N 为C 上两点, 且# » FM · # » FN = 0, 求△MFN 面积的最小值.
5. 5. 已知函数f(x) = ax −sin x cos3 x, x ∈ ( 0, π 2 ) . (1) 当a = 8 时, 讨论f(x) 的单调性; (2) 若f(x) < sin 2x, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知点P(2, 1), 直线l: { x = 2 + t cos α, y = 1 + t sin α, (t 为参数), α 为l 的倾斜角, l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A, B, 且|PA| · |PB| = 4. (1) 求α; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求l 的极坐标方 程.
7. 7. 设a > 0, 函数f(x) = 2|x −a| −a. (1) 求不等式f(x) < x 的解集; (2) 若曲线y = f(x) 与x 轴所围成的图形的面积为2, 求a. 1182

原卷配图（含真实几何/应用题图示）