2023年北京

本卷为官方高考数学真题（2023年北京），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {x | x + 2 ⩾0}, N = {x | x −1 < 0}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {x | −2 ⩽x < 1} B. {x | −2 < x ⩽1} C. {x | x ⩾−2} D. {x | x < 1}
2. 2. 在复平面内, 复数z 对应的点的坐标是(−1, √ 3), 则z 的共轭复数z =( ) √ 3i √ 3i √ 3i √ 3i 5分
   A. 1 + B. 1 − C. −1 + D. −1 −
3. 3. 已知向量a, b 满足a + b = (2, 3), a −b = (−2, 1), 则|a|2 −|b|2 = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
4. 4. 下列函数中, 在区间(0, +∞) 上单调递增的是 ( ) 2x x 5分
   A. f(x) = −ln x (B) f(x) = 1 C. f(x) = −1 D. f(x) = 3|x−1|
5. 5. 在 ( 2x −1 x )5 的展开式中, x 的系数为 ( ) 5分
   A. −40 B. 40 C. −80 D. 80
6. 6. 已知抛物线C: y2 = 8x 的焦点为F, 点M 在C 上. 若M 到直线x = −3 的距离为5, 则|MF| = ( ) 5分
   A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 7. 在△ABC 中, (a + c)(sin A −sin C) = b(sin A −sin B), 则∠C = ( ) 6 3 3 6 5分
   A. π B. π C. 2π D. 5π
8. 8. 若xy̸ = 0, 则“x + y = 0”是“y x + x y = −2”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一, 蕴含着丰富的数学元素. 安装灯带可以 勾勒出建筑轮廓, 展现造型之美. 如图, 某坡屋顶可视为一个五面体, 其中 两个面是全等的等腰梯形, 两个面是全等的等腰三角形. 若AB = 25 m, BC = 10 m, 且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为 √ 14 5 , 则该五面体的所有棱长之和为 ( ) A F E B C D 5分
   A. 102 m B. 112 m C. 117 m D. 125 m
10. 10. 已知数列{an} 满足an+1 = 1 4 (an −6)3 + 6 (n = 1, 2, 3, · · · ), 则 ( ) 成立 成立 成立 成立 5分
    A. 当a1 = 3 时, {an} 为递减数列, 且存在常数M ⩽0, 使得an > M 恒 B. 当a1 = 5 时, {an} 为递增数列, 且存在常数M ⩽6, 使得an < M 恒 C. 当a1 = 7 时, {an} 为递减数列, 且存在常数M > 6, 使得an > M 恒 D. 当a1 = 9 时, {an} 为递增数列, 且存在常数M > 0, 使得an < M 恒

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 4x + log2 x, 则f (1 2 ) = . 5分
2. 2. 已知双曲线C 的焦点为(−2, 0) 和(2, 0), 离心率为 √ 2, 则C 的方程 为 . 5分
3. 3. 已知命题p: 若α, β 为第一象限角, 且α > β, 则tan α > tan β. 能说明p 为假命题的一组α, β 的值为α = , β = . 5分
4. 4. 我国度量衡的发展有着悠久的历史, 战国时期就已经出现了类似于砝码的、 用来测量物体质量的“环权”. 已知9 枚环权的质量(单位: 铢) 从小到大构 成项数为9 的数列{an}, 该数列的前3 项成等差数列, 后7 项成等比数 列, 且a1 = 1, a5 = 12, a9 = 192, 则a7 = ; 数列{an} 所有项的和 为 . 5分
5. 5. 设a > 0, 函数f(x) =        x + 2, x < −a, √ a2 −x2, −a ⩽x ⩽a, −√x −1, x > a. 给出下列四个结论: ①f(x) 在区间(a −1, +∞) 上单调递减; ②当a ⩾1 时, f(x) 存在最大值; ③设M (x1, f (x1)) (x1 ⩽a), N (x2, f (x2)) (x2 > a), 则|MN| > 1; ④设P (x3, f (x3)) (x3 < −a), Q (x4, f (x4)) (x4 ⩾−a). 若|PQ| 存在最 小值, 则a 的取值范围是 ( 0, 1 2 ] . 其中所有正确结论的序号是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA ⊥平面ABC, PA = AB = BC = 1, PC = √ 3. (1) 求证: BC ⊥平面PAB; (2) 求二面角A −PC −B 的大小. A P B C
2. 2. 设函数f(x) = sin ωx cos φ + cos ωx sin φ ( ω > 0, |φ| < π 2 ) . (1) 若f(0) = − √ 3 2 , 求φ 的值; (2) 已知f(x) 在区间 [ −π 3 , 2π 3 ] 上单调递增, f (2π 3 ) = 1, 再从条件①、 条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使函数f(x) 存在, 求ω, φ 的值. 条件①: f (π 3 ) = 1; 条件②: f ( −π 3 ) = −1; 条件③: f(x) 在区间 [ −π 2 , −π 3 ] 上单调递减.
3. 3. 为研究某种农产品价格变化的规律, 收集得到了该农产品连续40 天的价 格变化数据, 如下表所示. 在描述价格变化时, 用“+”表示“上涨”, 即当天价 格比前一天价格高; 用“−”表示“下跌”, 即当天价格比前一天价格低; 用“0” 表示“不变”, 即当天价格与前一天价格相同. 时段 价格变化 第1 天到第20 天 −+ + 0 −−−+ + 0 + 0 −−+ −+ 0 0 + 第21 天到第40 天 0 + + 0 −−−+ + 0 + 0 + −−−+ 0 −+ 用频率估计概率. (1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率; (2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的. 在未来的日子里任取4 天, 试估计该农产品价格在这4 天中2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变” 的概率; (3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响. 判断第41 天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大. (结论不要 求证明) 1179
4. 4. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 5 3 , A, C 分别是E 的 上、下顶点, B, D 分别是E 的左、右顶点, |AC| = 4. (1) 求E 的方程; (2) 设P 为第一象限内E 上的动点, 直线PD 与直线BC 交于点M, 直 线PA 与直线y = −2 交于点N. 求证: MN CD.
5. 5. 设函数f(x) = x −x3eax+b, 曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程为 y = −x + 1. (1) 求a, b 的值; (2) 设函数g(x) = f ′(x), 求g(x) 的单调区间; (3) 求f(x) 的极值点个数.
6. 6. 已知数列{an}, {bn} 的项数均为m (m > 2), 且an, bn ∈{1, 2, · · · , m}, {an}, {bn} 的前n 项和分别为An, Bn, 并规定A0 = B0 = 0. 对于k ∈ {0, 1, 2, · · · , m}, 定义rk = max {i | Bi ⩽Ak, i ∈{0, 1, 2, · · · , m}}, 其中, max M 表示数集M 中最大的数. (1) 若a1 = 2, a2 = 1, a3 = 3, b1 = 1, b2 = 2, b3 = 3, 写出r0, r1, r2, r3 的 值; (2) 若a1 ⩾b1, 且2rj ⩽rj+1 + rj−1, j = 1, 2, · · · , m −1, 求rn; (3) 证明: 存在p, q, s, t ∈{0, 1, 2, · · · , m}, 满足p > q, s > t, 使得 Ap + Bt = Aq + Bs. 1180

原卷配图（含真实几何/应用题图示）