2023年天津

本卷为官方高考数学真题（2023年天津），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {1, 2, 4}, 则 (∁UB) ∪A = ( ) 5分
   A. {1, 3, 5} B. {1, 3} C. {1, 2, 4} D. {1, 2, 4, 5}
2. 2. 已知a, b ∈R, 则“a2 = b2”是“a2 + b2 = 2ab”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 设a = 1.010.5, b = 1.010.6, c = 0.60.5, 则a, b, c 的大小关系为 ( ) 5分
   A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b
4. 4. 已知函数y = f(x) 的部分图象如下, 则f(x) 的解析式可能为 ( ) x y O x2 + 2 x2 + 1 x2 + 2 x2 + 1 5分
   A. f(x) = 5ex −5e−x B. f(x) = 5 sin x C. f(x) = 5ex + 5e−x D. f(x) = 5 cos x
5. 5. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a1 = 2, an+1 = 2Sn + 2 (n ∈N∗), 则a4 = ( ) 5分
   A. 16 B. 32 C. 54 D. 162
6. 6. 函数y = f(x) 的图象关于直线x = 2 对称, 且f(x) 的一个周期为4, 则 f(x) 的解析式可以是 ( ) (π 2 x ) (π 2 x ) (π 4 x ) (π 4 x ) 5分
   A. f(x) = sin B. f(x) = cos C. f(x) = sin D. f(x) = cos
7. 7. 鸢是鹰科的一种鸟,《诗经· 大雅· 旱麓》曰“鸢飞戾天, 鱼跃于渊”. 鸢尾花 因花瓣形如鸢尾而得名(图1), 寓意鹏程万里、前途无量. 通过随机抽样, 收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位: cm), 绘制对应 散点图(图2) 如下, 计算得样本相关系数为0.8642, 利用最小二乘法求得 相应的经验回归方程为ˆy = 0.7501x + 0.6105. 根据以上信息, 如下判断正 确的为 ( ) 图2 图1 • ••••• •••••• ••• •• • • • ••• • • •••• • • • • • •• •• • • • •• • • 7.2 6.8 6.4 6.0 5.6 5.2 4.8 4.4 4.85.25.66.06.46.87.27.68.08.4 花萼长度 花 瓣 长 度 (C) 花萼长度为 7 cm 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为 5.8612 cm 关系数一定为0.8642 5分
   A. 花萼长度与花瓣长度不存在相关关系 B. 花萼长度与花瓣长度负相关 D. 若选取其他品种鸢尾花进行抽样, 所得花萼长度与花瓣长度的样本相
8. 8. 在三棱锥P −ABC 中, 点M, N 分别在棱PB 和PC 上, 且PM = 1 3PB, PN = 2 3PC, 则三棱锥P −AMN 和三棱锥P −ABC 的体积之比为( ) 9 9 3 9 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 4
9. 9. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1 和F2. 过F2 向一条渐近线作垂线, 垂足为P. 若|PF2| = 2, 直线PF1 的斜率为 √ 2 4 , 则双曲线的方程为 ( ) 8 −y2 4 = 1 (B) x2 4 −y2 8 = 1 4 −y2 2 = 1 2 −y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知i 是虚数单位, 化简5 + 14i 2 + 3i 的结果为 . 5分
2. 2. 在 ( 2x3 −1 x )6 的展开式中, x2 的系数为 . 5分
3. 3. 已知过原点O 的直线l 与圆(x + 2)2 + y2 = 3 相切, 且l 与抛物线 y2 = 2px (p > 0) 交于O, A 两点. 若|OA| = 8, 则p = . 5分
4. 4. 把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异) 放进三个空箱子 中. 三个箱子中的球数之比为5 : 4 : 6, 且其中的黑球比例依次为40%, 25%, 50%. 若从每个箱子中各随机摸出一球, 则三个球都是黑球的概率 为 ; 若把所有球放在一起, 然后随机摸出一球, 则该球是白球的概率 为 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, BC = 1, ∠A = 60◦, # » AD = 1 2 # » AB, # » CE = 1 2 # » CD. 记# » AB = a, # » AC = b. 用a 和b 表示# » AE = ; 若# » BF = 1 3 # » BC, 则# » AE · # » AF 的最 大值为 . 5分
6. 6. 设a ∈R, 函数f(x) = ax2 −2x −|x2 −ax + 1|. 若f(x) 恰有两个零点, 则a 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = √ 39, b = 2, (1) 求sin B 的值; (2) 求c 的值; (3) 求sin(B −C) 的值.
2. 2. 如图, 在三棱台ABC −A1B1C1 中, AA1 ⊥平面ABC, AB ⊥AC, AB = AC = AA1 = 2, A1C1 = 1, M 为BC 的中点, N 为AB 的中 点. (1) 求证: A1N 平面AMC1; (2) 求平面AMC1 与平面ACC1A1 夹角的余弦值; (3) 求点C 到平面AMC1 的距离. B M C A A1 N C1 B1 1191
3. 3. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别为A1 和A2, 右焦点 为F, 且|A1F| = 3, |A2F| = 1. (1) 求椭圆的方程和离心率; (2) 点P 在椭圆上(P 异于椭圆的顶点), 直线A2P 交y 轴于点Q. 若 △A1PQ 面积为△A2PF 面积的2 倍, 求直线A2P 的方程.
4. 4. 已知{an} 是等差数列, a2 + a5 = 16, a5 −a3 = 4. (1) 求{an} 的通项公式及 2n−1 ∑ i=2n−1 ai (n ∈N∗); (2) 设{bn} 是等比数列, 且对任意的k ∈N∗, 当2k−1 ⩽n ⩽2k −1 时, bk < an < bk+1. ①当k ⩾2 时, 求证: 2k −1 < bk < 2k + 1; ②求{bn} 的通项公式及前n 项和.
5. 5. 已知函数f(x) = (1 x + 1 2 ) ln(x + 1). (1) 求曲线y = f(x) 在x = 2 处的切线斜率; (2) 求证: 当x > 0 时, f(x) > 1; (3) 求证: 5 6 < ln(n!) − ( n + 1 2 ) ln n + n ⩽1 (n ∈N∗). 1192

原卷配图（含真实几何/应用题图示）