2023年新高考1

本卷为官方高考数学真题（2023年新高考1），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {−2, −1, 0, 1, 2}, N = {x | x2 −x −6 ⩾0}, 则 M ∩N = ( ) 5分
   A. {−2, −1, 0, 1} B. {0, 1, 2} C. {−2} D. {2}
2. 2. 已知z = 1 −i 2 + 2i, 则z −z = ( ) 5分
   A. −i B. i C. 0 D. 1
3. 3. 已知向量a = (1, 1), b = (1, −1). 若(a + λb) ⊥(a + µb), 则 ( ) 5分
   A. λ + µ = 1 B. λ + µ = −1 C. λµ = 1 D. λµ = −1
4. 4. 设函数f(x) = 2x(x−a) 在区间(0, 1) 单调递减, 则a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, −2] B. [−2, 0) C. (0, 2] D. [2, +∞)
5. 5. 设椭圆C1: x2 a2 + y2 = 1 (a > 1), C2: x2 4 + y2 = 1 的离心率分别为e1, e2. 若e2 = √ 3e1, 则a = ( ) √ 3 3 (B) √ 2 (C) √ 3 (D) √ 6 5分
   A. 2
6. 6. 过点(0, −2) 与圆x2 + y2 −4x −1 = 0 相切的两条直线的夹角为α, 则 sin α = ( ) (B) √ 15 4 (C) √ 10 4 (D) √ 6 4 5分
   A. 1
7. 7. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 设甲: {an} 为等差数列; 乙: {Sn n } 为等 差数列, 则 ( ) 5分
   A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 8. 已知sin(α −β) = 1 3, cos α sin β = 1 6, 则cos(2α + 2β) = ( ) 9 9 9 9 二、多选题 5分
   A. 7 B. 1 C. −1 D. −7
9. 9. 有一组样本数据x1, x2, · · · , x6, 其中x1 是最小值, x6 是最大值, 则 ( ) 5分
   A. x2, x3, x4, x5 的平均数等于x1, x2, · · · , x6 的平均数 B. x2, x3, x4, x5 的中位数等于x1, x2, · · · , x6 的中位数 C. x2, x3, x4, x5 的标准差不小于x1, x2, · · · , x6 的标准差 D. x2, x3, x4, x5 的极差不大于x1, x2, · · · , x6 的极差
10. 10. 噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 LP = 20 × lg p p0 , 其中常数p0 (p0 > 0) 是听觉下限阈值, p 是实际声压. 下 表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60 ∼90 混合动力汽车 10 50 ∼60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车, 混合动力汽车, 电动汽车10 m 处测得实际声压分别 为p1, p2, p3, 则 ( ) 5分
    A. p1 ⩾p2 B. p2 > 10p3 C. p3 = 100p0 D. p1 ⩽100p2
11. 11. 已知函数f(x) 的定义域为R, f(xy) = y2f(x) + x2f(y), 则 ( ) 5分
    A. f(0) = 0 B. f(1) = 0 C. f(x) 是偶函数 D. x = 0 为f(x) 的极小值点
12. 12. 下列物体中, 能被整体放入棱长为1 (单位: m) 的正方体容器(容器壁厚度 忽略不计) 内的有 ( ) 5分
    A. 直径为0.99 m 的球体 B. 所有棱长均为1.4 m 的四面体 C. 底面直径为0.01 m, 高为1.8 m 的圆柱体 D. 底面直径为1.2 m, 高为0.01 m 的圆柱体

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课, 学生需从这8 门课 中选修2 门或3 门课, 并且每类选修课至少选修1 门, 则不同的选课方案 共有 种. (用数字作答) 5分
2. 2. 在正四棱台ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 2, A1B1 = 1, AA1 = √ 2, 则 该棱台的体积为 . 5分
3. 3. 已知函数f(x) = cos ωx −1 (ω > 0) 在区间[0, 2π], 有且仅有3 个零点, 则 ω 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2. 点A 在C 上, 点B 在y 轴上, # » F1A ⊥# » F1B, # » F2A = −2 3 # » F2B, 则C 的离心 率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知在△ABC 中, A + B = 3C, 2 sin(A −C) = sin B. (1) 求sin A; (2) 设AB = 5, 求AB 边上的高.
2. 2. 如图, 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 2, AA1 = 4. 点A2, B2, C2, D2 分别在棱AA1, BB1, CC1, DD1 上, AA2 = 1, BB2 = DD2 = 2, CC2 = 3. (1) 证明: B2C2 A2D2; (2) 点P 在棱BB1 上, 当二面角P −A2C2 −D2 为150◦时, 求B2P. D P A B C D1 A1 B1 C1 D2 A2 B2 C2
3. 3. 已知函数f(x) = a (ex + a) −x. (1) 讨论f(x) 的单调性; (2) 证明: 当a > 0 时, 求证: f(x) > 2 ln a + 3 2. 1193
4. 4. 设等差数列{an} 的公差为d, 且d > 1. 令bn = n2 + n an , 记Sn, Tn 分别 为数列{an}, {bn} 的前n 项和. (1) 若3a2 = 3a1 + a3, S3 + T3 = 21, 求{an} 的通项公式; (2) 若{bn} 为等差数列, 且S99 −T99 = 99, 求d.
5. 5. 甲、乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率 均为0.6, 乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签决定第1 次投篮的人选, 第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1) 求第2 次投篮的人是乙的概率; (2) 求第i 次投篮的人是甲的概率; (3) 已知: 若随机变量Xi 服从两点分布, 且P (Xi = 1) = 1−P (Xi = 0) = qi, i = 1, 2, · · · , n, 则E ( n∑ i=1 Xi ) = n∑ i=1 qi. 记前n 次(即从第1 次到第n 次投篮) 中甲投篮的次数为Y , 求E(Y ).
6. 6. 在直角坐标系xOy 中, 点P 到x 轴的距离等于点P 到点 ( 0, 1 2 ) 的距离, 记动点P 的轨迹为W. (1) 求W 的方程; (2) 已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上, 证明：矩形ABCD 的周长大 于3 √ 3. 1194

原卷配图（含真实几何/应用题图示）