2023年新高考2

本卷为官方高考数学真题（2023年新高考2），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 在复平面内, (1 + 3i)(3 −i) 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 设集合A = {0, −a}, B = {1, a −2, 2a −2}, 若A ⊆B, 则a = ( ) 3 5分
   A. 2 B. 1 C. 2 D. −1
3. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样法作 抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生, 已知该校初中部和 高中部分别有400 名和200 名学生, 则不同的抽样结果共有 ( ) 400C15 200 种 400C40 200 种 400C30 200 种 400C20 200 种 5分
   A. C45 B. C20 C. C30 D. C40
4. 4. 若f(x) = (x + a) ln 2x −1 2x + 1 为偶函数, 则a = ( ) 2 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 1
5. 5. 已知椭圆C: x2 3 + y2 = 1 的左、右焦点分别为F1, F2, 直线y = x + m 与 ) 3 (B) √ 2 3 √ 2 3 3 5分
   C. 交于A, B 两点, 若△F1AB 的面积是△F2AB 面积的两倍, 则m =( A. 2 C. − D. −2
6. 6. 已知函数f(x) = aex −ln x 在区间(1, 2) 单调递增, 则a 的最小值为( ) 5分
   A. e2 B. e C. e−1 D. e−2
7. 7. 已知α 为锐角, cos α = 1 + √ 5 4 , 则sin α 2 = ( ) √ 5 8 √ 5 8 √ 5 4 √ 5 4 5分
   A. 3 − B. −1 + C. 3 − D. −1 +
8. 8. 记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, 若S4 = −5, S6 = 21S2, 则S8 =( ) 二、多选题 5分
   A. 120 B. 85 C. −85 D. −120
9. 9. 已知圆锥的顶点为P, 底面圆心为O, AB 为底面直径, ∠APB = 120◦, PA = 2, 点C 在底面圆周上, 且二面角P −AC −O 为45◦, 则 ( ) √ 3π √ 2 √ 3 5分
   A. 该圆锥的体积为π B. 该圆锥的侧面积为4 C. AC = 2 D. △PAC 的面积为
10. 10. 设O 为坐标原点, 直线y = − √ 3(x −1) 过抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的 焦点, 且与C 交于M, N 两点, l 为C 的准线, 则 ( ) 3 5分
    A. p = 2 B. |MN| = 8 C. 以MN 为直径的圆与l 相切 D. △OMN 为等腰三角形
11. 11. 若函数f(x) = a ln x + b x + c x2 (a̸ = 0) 既有极大值也有极小值, 则 ( ) 5分
    A. bc > 0 B. ab > 0 C. b2 + 8ac > 0 D. ac < 0
12. 12. 在信道内传输0, 1 信号, 信号的传输相互独立. 发送0 时, 收到1 的概率 为α (0 < α < 1), 收到0 的概率为1 −α; 发送1 时, 收到0 的概率为 β (0 < β < 1), 收到1 的概率为1 −β. 考虑两种传输方案: 单次传输和三 次传输. 单次传输是指每个信号只发送1 次, 三次传输是指每个信号重复 发送3 次. 收到的信号需要译码, 译码规则如下: 单次传输时, 收到的信号 即为译码; 三次传输时, 收到的信号中出现次数多的即为译码(例如, 若依 次收到1, 0, 1, 则译码为1) ( ) (1 −α)(1 −β)2 于采用单次传输方案译码为0 的概率 5分
    A. 采用单次传输方案, 若依次发送1, 0, 1, 则依次收到1, 0, 1 的概率为 B. 采用三次传输方案, 若发送1, 则依次收到1, 0, 1 的概率为β(1 −β)2 C. 采用三次传输方案, 若发送1, 则译码为1 的概率为β(1−β)2+(1−β)3 D. 当0 < α < 0.5 时, 若发送0, 则采用三次传输方案译码为0 的概率大

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a, b 满足|a −b| = √ 3, |a + b| = |2a −b|, 则|b| = . 5分
2. 2. 底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长 为2, 高为3 的正四棱锥, 所得棱台的体积为 . 5分
3. 3. 已知直线x −my + 1 = 0 与⊙C: (x −1)2 + y2 = 4 交于A, B 两点, 写出 满足“△ABC 面积为8 5”的m 的一个值 . 5分
4. 4. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ), 如图, A, B 是直线y = 1 2 与曲线y = f(x) 的两个交点, 若|AB| = π 6 , 则f(π) = . x A B 2π 3 y 1 2 O 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知△ABC 面积为 √ 3, (1) 若∠ADC = π 3 , 求tan B; (2) 若b2 + c2 = 8, 求b, c.
2. 2. 已知{an} 为等差数列, bn = { an −6, n 为奇数, 2an, n 为偶数. 记Sn, Tn 分别为数 列{an}, {bn} 的前n 项和, S4 = 32, T3 = 16. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 证明：当n > 5 时, Tn > Sn.
3. 3. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有 明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分 布直方图: 频率 组距 0 指标 0.002 0.012 0.034 0.040 0.036 95 100105110115120125130 患病者 频率 组距 0 指标 0.038 0.040 0.036 0.034 0.010 0.002 70 75 80 85 90 95 100105 未患病者 利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临界值c, 将该指标大于c 的人判 定为阳性, 小于或等于c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病 者判定为阴性的概率, 记为p(c); 误诊率是将未患病者判定为阳性的概率, 记为q(c). 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率. (1) 当漏诊率p(c) = 0.5% 时, 求临界值c 和误诊率q(c); (2) 设函数f(c) = p(c) + q(c). 当c ∈[95, 105], 求f(c) 的解析式, 并求 f(c) 在区间[95, 105] 的最小值. 1195
4. 4. 如图, 三棱锥A −BCD 中, DA = DB = DC, BD ⊥CD, ∠ADB = ∠ADC = 60◦, E 为BC 的中点. (1) 证明: BC ⊥DA; (2) 点F 满足# » EF = # » DA, 求二面角D −AB −F 的正弦值. D C B F A E
5. 5. 已知双曲线C 的中心为坐标原点, 左焦点为(−2 √ 5, 0), 离心率为 √ 5. (1) 求C 的方程; (2) 记C 的左、右顶点分别为A1, A2, 过点(−4, 0) 的直线与C 的左支交 于M, N 两点, M 在第二象限, 直线MA1 与直线NA2 交于P, 证明: 点 P 在定直线上.
6. 6. (1) 证明：当0 < x < 1 时, x −x2 < sin x < x; (2) 已知函数f(x) = cos ax −ln (1 −x2), 若x = 0 是f(x) 的极大值点, 求 1196

原卷配图（含真实几何/应用题图示）