2024年上海

本卷为官方高考数学真题（2024年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 若集合A = {2, 4}, 则A = . 5分
2. 2. 已知函数y = f(x) 的表达式为f(x) = {√x, x > 0, 1, x ⩽0, 则f(3) = . 5分
3. 3. 设x ∈R, 不等式x2 −2x −3 < 0 的解集为 . 5分
4. 4. 设a 为常数, 若函数y = x3 + a 是奇函数, 则a = . 5分
5. 5. 设k ∈R, 向量#»a = (2, 5), #»b = (6, k), 若#»a #»b , 则k = . 5分
6. 6. 在(x+1)n 的二项展开式中, 若各项系数和为32, 则x2 项的系数为 . 5分
7. 7. 若抛物线y2 = 4x 上一点P 到其准线的距离为9, 则点P 到x 轴的距离 为 . 5分
8. 8. 小王参加知识竞赛, 题库中A 组题有5000 道, B 组题有4000 道, C 组题 有3000 道, 若小王做对这三组题的概率依次为0.92、0.86、0.72, 则随机从 题库中抽取一道题, 小王做对的概率是 . 5分
9. 9. 设m ∈R, 若虚数z 的实部为1, 且满足z + 2 z = m, 则m = . 5分
10. 10. 已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数, 若该集合中任意 两个数的积均为偶数, 则该集合的元素个数的最大值为 . 5分
11. 11. 海上有灯塔O、A、B 和船只T, A 在O 的正东方向, B 在O 的正北方向, ∠BTO = 16.5◦, 则∠BOT = . (结果精确到0.1 度) O A T B 5分
    A. B 到O 的距离相等, O、A、T、B 按逆时针排列. 若∠ATO = 37◦,
12. 12. 等比数列{an} 满足首项a1 > 0, 公比q > 1, In = {x −y| x, y ∈ [a1, a2] ∪[an, an+1]}, 若对任意正整数n, In 都是闭区间, 则q 的取值范围 是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若气温(单位 ◦C) 和海水表层温度(单位: 摄氏度) 的相关系数为正数, 则 下列关于两者关系的说法正确的是 ( ) 5分
   A. 随着气温由低变高, 海水表层温度由低变高 B. 随着气温由低变高, 海水表层温度由高变低 C. 随着气温由低变高, 海水表层温度有由低变高的趋势 D. 随着气温由低变高, 海水表层温度有由高变低的趋势
2. 2. 下列函数中, 最小正周期是2π 的是 ( ) 5分
   A. y = sin x + cos x B. y = sin x cos x C. y = sin2 x + cos2 x D. y = sin2 x −cos2 x
3. 3. 已知空间直角坐标系Oxyz 中的点集Ω, 对任意的P1、P2、P3 ∈Ω, 均存 在不全为0 的实数λ1、λ2、λ3 满足λ1 # » OP1 + λ2 # » OP2 + λ3 # » OP3 = #»0 . 若 (1, 0, 0) ∈Ω, 则(0, 0, 1) /∈Ω的一个充分条件是 ( ) 5分
   A. (0, 0, 0) ∈Ω B. (−1, 0, 0) ∈Ω(C) (0, −1, 0) ∈Ω(D) (0, 0, −1) ∈Ω
4. 4. 已知定义在R 上的函数y = f(x), M = {x0| 对任意 x ∈(−∞, x0), f(x) < f (x0)}, 对于使得M = [−1, 1] 的函数y = f(x), 以下说法正确的 是 ( ) 5分
   A. 存在y = f(x) 是偶函数 B. 存在y = f(x) 在x = 2 处取得最大值 C. 存在y = f(x) 是严格增函数 D. 存在y = f(x) 在x = −1 处取得极小值

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在正四棱锥P −ABCD 中, O 为底面ABCD 的中心. (1) 若AP = 5, AD = 3 √ 2, 将△POA 绕直线PO 旋转一周, 求所得旋转 体的体积; (2) 若AP = AD, E 为PB 的中点, 求直线BD 与平面AEC 所成角的大 小. A B C D P O
2. 2. 已知f(x) = loga x (a > 0 且a̸ = 1). (1) 若函数y = f(x) 的图象过点(4, 2), 求f(2x −2) < f(x) 的解集; (2) 若存在x 使f(x + 1)、f(ax)、f(x + 2) 依次成等差数列, 求a 的取值 范围. 1203
3. 3. 某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系, 从该地区29000 名初中生抽取580 人, 得到日均体育锻炼时长(表中简称时长) 与学业成绩 的数据如下表所示: 时长 [0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) 合计 优秀 5 44 42 3 1 95 不优秀 134 147 137 40 27 485 合计 139 191 179 43 28 580 (1) 估计该地区29000 名初中生中体育锻炼时长大于1 小时人数; (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长; (结果精确到0.1 小时) (3) 判断是否有95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻 炼时长不小于1 小时且小于2 小时有关? 时长 [1, 2) 其他 合计 优秀 a b 不优秀 c d 合计 χ2 = n(ad −bc)2 0.05.
4. 4. 双曲线Γ: x2 −y2 b2 = 1 (b > 0), 左、右顶点分别为A1、A2, 过点M(−2, 0) 的直线交Γ 于两点P、Q 两点. (1) 若离心率e = 2 , 求b 的值; (2) 若b = 2 √ 6 3 , 点P 在第一象限, △MA2P 为等腰三角形, 求点P 的坐 标; (3) 连接QO (O 为坐标原点) 并延长交Γ 于点R, 若# » A1R · # » A2P = 1, 求b 的取值范围.
5. 5. 设D 是R 的一个非空子集, y = f(x) 是定义在D 上的函数. 对于点 M(a, b), 记s(x) = (x −a)2 + (f(x) −b)2, 若对于点P (x0, f (x0)), 满足函 数y = s(x) 在x = x0 处取得最小值, 则称P 是M 的f 最近点. (1) f(x) = 1 x, M(0, 0), D = (0, +∞), 求证: 存在M 的f 最近点; (2) f(x) = ex, M(1, 0), D = R, 若曲线y = f(x) 上一点P 满足MP 垂 直于y = f(x) 在点P (x0, f (x0)) 处的切线, 则P 是否为M 的f 最近点? (3) 已知D = R, y = f(x) 的导函数为y = f ′(x), y = g(x) 在R 上的函数 值恒正. 对任意t ∈R, 点M1 的坐标为(t −1, f(t) −g(t)), 点M2 的坐标 为(t + 1, f(t)+ g(t)), 若对任意的t ∈R, 总存在y = f(x) 上一点P, 使得 P 既是M1 的f 最近点, 又是M2 的f 最近点, 试求y = f(x) 的单调性. 1204

原卷配图（含真实几何/应用题图示）