本卷为官方高考数学真题（2024年全国（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 若z = 5 + i, 则i(z + z) =
(
) 5分
A. 10i
B. 2i
C. 10
D. 2
-
2. 已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 9}, B = {x | √x ∈A}, 则∁A(A ∩B) =(
) 5分
A. {1, 4, 9}
B. {3, 4, 9}
C. {1, 2, 3}
D. {2, 3, 5}
-
3. 若x, y 满足约束条件
4x −3y −3 ⩾0,
x −2y −2 ⩽0,
2x + 6y −9 ⩽0,
则z = x −5y 的最小值为(
)
2
2
2 5分
A. 1
B. 0
C. −5
D. −7
-
4. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 已知S5 = S10, a5 = 1, 则a1 = (
)
2
3
3
11 5分
A. 7
B. 7
C. −1
D. −7
-
5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0, 4), (0, −4), 点(−6, 4) 在该双曲线上, 则
该双曲线的离心率为
(
)
(D)
√
2 5分
A. 4
B. 3
C. 2
-
6. 设函数f(x) = ex + 2 sin x
1 + x2
, 则曲线y = f(x) 在点(0, 1) 处的切线与两坐
标轴所围成的三角形的面积为
(
)
6
3
2
3 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
7. 函数y = −x2 + (ex −e−x) sin x 在区间[−2.8, 2.8] 的图象大致为
(
)
(A)
1
2.8
−2.8
x
1
y
O
(B)
1
2.8
−2.8
x
1
y
O
(C)
1
2.8
−2.8
x
1
y
O
(D)
1
2.8
−2.8
x
1
y
O 5分
-
8. 已知
cos α
cos α −sin α =
√
3, 则tan
(
α + π
4
)
=
(
)
√
3 + 1
√
3 −1
(C)
√
3
2
√
3 5分
A. 2
B. 2
D. 1 −
-
9. 设向量a = (x + 1, x), b = (x, 2), 则
(
)
√
3 是a
√
3 是a 5分
A. x = −3 是a ⊥b 的必要条件
B. x = 1 +
B. 的必要条件
C. x = 0 是a ⊥b 的充分条件
D. x = −1 +
B. 的充分条件
-
10. 设α, β 为两个平面, m, n 为两条直线, 且α ∩β = m. 下述四个命题:
①若m
n, 则n
α 或n
β;
②若m ⊥n, 则n ⊥α 或n ⊥β;
③若n
α 且n
β, 则m
n;
④若n 与α, β 所成的角相等, 则m ⊥n.
其中所有真命题的编号是
(
) 5分
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④
-
11. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知B = 60◦, b2 = 9
4ac,
则sin A + sin C =
(
)
2
(B)
√
2
(C)
√
7
2
(D)
√
3
2 5分
A. 3
-
12. 已知b 是a, c 的等差中项, 直线ax + by + c = 0 与圆x2 + y2 + 4y −1 = 0
交于A, B 两点, 则|AB| 的最小值为
(
)
√
5 5分
A. 1
B. 2
C. 4
D. 2
-
1. (1
3 + x
)10
的展开式中, 各项系数中的最大值为
. 5分
-
2. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1, 下底面半径均为r2, 圆台甲、乙的
母线长分别为2 (r2 −r1), 3 (r2 −r1), 则圆台甲与乙的体积之比为
. 5分
-
3. 已知a > 1 且
1
log8 a −
1
loga 4 = −5
2, 则a =
. 5分
-
4. 有6 个相同的球, 分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 从中无放回地随机取3 次,
每次取1 个球. 设m 为前两次取出的球上数字的平均值, n 为取出的三个
球上数字的平均值, 则m 与n 之差的绝对值不大于1
2 的概率为
. 5分
-
1. 某工厂进行生产线智能化升级改造. 升级改造后, 从该工厂甲、乙两个车间
的产品中随机抽取150 件进行检验, 数据如下:
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1) 填写如下列联表:
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 能否有
99% 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p = 0.5. 设p 为升级改造后抽
取的n 件产品的优级品率, 如果p > p + 1.65
√
p(1 −p)
n
, 则认为该工厂产
品的优级品率提高了. 根据抽取的150 件产品的数据, 能否认为生产线智
能化升级改造后, 该工厂产品的优级品率提高了? (
√
150 ≈12.247)
附: K2 =
n(ad −bc)2
P (K2 ⩾k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828 .
-
2. 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 已知4Sn = 3an + 4.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 设bn = (−1)n−1nan , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
1201
-
3. 如图, 在以A, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形ABCD
与四边形ADEF 均为等腰梯形, EF
AD, BC
AD, AD = 4,
AB = BC = EF = 2, ED =
√
10, FB = 2
√
3, M 为AD 的中点.
(1) 证明: BM
平面CDE;
(2) 求二面角F −BM −E 的正弦值.
A
D
C
B
E
F
M
-
4. 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 点M
(
1, 3
2
)
在C 上,
且MF ⊥x 轴.
(1) 求C 的方程;
(2) 过点P(4, 0) 的直线交C 于A, B 两点, N 为线段FP 的中点, 直线
NB 交直线MF 于点Q, 证明: AQ ⊥y 轴.
-
5. 已知函数f(x) = (1 −ax) ln(1 + x) −x.
(1) 若a = −2, 求f(x) 的极值;
(2) 当x ⩾0 时, f(x) ⩾0, 求a 的取值范围.
-
6. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系, 曲线C 的极坐标方程为ρ = ρ cos θ + 1.
(1) 写出C 的直角坐标方程;
(2) 设直线l:
{
x = t,
y = t + a
(t 为参数), 若C 与l 相交于A, B 两点, 且
|AB| = 2, 求a.
-
7. 已知实数a, b 满足a + b ⩾3.
(1) 证明: 2a2 + 2b2 > a + b;
(2) 证明: |a −2b2| + |b −2a2| ⩾6.
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