2024年北京
选择题（每题 5 分）（共 10 题）
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1. 已知集合M = {x | −3 < x < 1}, N = {x | −1 ⩽x < 4}, 则M ∪N =( ) 5分A. {x | −1 ⩽x < 1} B. {x | x > −3} C. {x | −3 < x < 4} D. {x | x < 4}
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2. 若复数z 满足z i = −1 −i, 则z = ( ) 5分A. −1 −i B. −1 + i C. 1 −i D. 1 + i
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3. 圆x2 + y2 −2x + 6y = 0 的圆心到直线x −y + 2 = 0 的距离为 ( ) (A) √ 2 √ 2 5分B. 2 C. 3 D. 3
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4. 在(x −√x) 4 的展开式中, x3 的系数为 ( ) 5分A. 6 B. −6 C. 12 D. −12
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5. 设a, b 是向量, 则“(a + b) · (a −b) = 0”是“a = −b 或a = b”的 ( ) 5分A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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6. 设函数f (x) = sin ωx (ω > 0). 已知f (x1) = −1, f (x2) = 1, 且|x1 −x2| 的最小值为π 2 , 则ω = ( ) 5分A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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7. 生物丰富度指数d = S −1 ln N 是河流水质的一个评价指标, 其中S, N 分别 表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数d 越大, 水质 越好. 如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化, 生物个体总数由N1 变为N2, 生物丰富度指数由2.1 提高到3.15, 则 ( ) 2 = N 3 1 2 = N 2 1 5分A. 3N2 = 2N1 B. 2N2 = 3N1 C. N 2 D. N 3
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8. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是边长为4 的正方形, PA = PB = 4, PC = PD = 2 √ 2. 该棱锥的高为 ( ) B C D A P (C) √ 2 (D) √ 3 5分A. 1 B. 2
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9. 已知(x1, y1), (x2, y2) 是函数y = 2x 的图象上两个不同的点, 则 ( ) y1 + y2 2 < x1 + x2 2 y1 + y2 2 > x1 + x2 2 y1 + y2 2 < x1 + x2 y1 + y2 2 > x1 + x2 5分A. log2 B. log2 C. log2 D. log2
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10. 已知M = {(x, y) | y = x + t (x2 −x) , 1 ⩽x ⩽2, 0 ⩽t ⩽1} 是平面直角 坐标系中的点集. 设d 是M 中两点间的距离的最大值, S 是M 表示的图 形的面积, 则 ( ) √ 10, S < 1 √ 10, S > 1 5分A. d = 3, S < 1 B. d = 3, S > 1 C. d = D. d =
填空题（每题 5 分）（共 5 题）
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1. 抛物线y2 = 16x 的焦点坐标为 . 5分
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2. 在平面直角坐标系xOy 中, 角α 与角β 均以Ox 为始边, 它们的终边关于 原点对称. 若α ∈ [π 6 , π 3 ] , 则cos β 的最大值为 . 5分
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3. 若直线y = k (x −3) 与双曲线x2 4 −y2 = 1 只有一个公共点, 则k 的一个 取值为 . 5分
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4. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中 升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱. 若升、斗、斛量器的容积成 公比为10 的等比数列, 底面直径依次为65 mm, 325 mm, 325 mm, 且斛量 器的高为230 mm, 则斗量器的高为 mm, 升量器的高为 mm. (不计量器的厚度) 5分
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5. 设{an} 与{bn} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列. 记集合 M = {k | ak = bk, k ∈N∗}, 给出下列四个结论: ①若{an} 与{bn} 均为等差数列, 则M 中最多有1 个元素; ②若{an} 与{bn} 均为等比数列, 则M 中最多有2 个元素; ③若{an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, 则M 中最多有3 个元素; ④若{an} 为递增数列, {bn} 为递减数列, 则M 中最多有1 个元素. 其中正确结论的序号是 . 5分
解答题（分值见原卷）（共 6 题）
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1. 在△ABC 中, ∠A 为钝角, a = 7, sin 2B = √ 3 7 b cos B. (1) 求∠A; (2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC 存在, 求△ABC 的面积. 条件①: b = 7; 条件②: cos B = 13 14; 条件③: c sin A = 5 √ 3 2 . 注: 如果选择的条件不符合要求, 第(2) 问得0 分; 如果选择多个符合要求 的条件分别解答, 按第一个解答计分.
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2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, BC AD, AB = BC = 1, AD = 3. 点E 在AD 上, 且PE ⊥AD, PE = DE = 2. (1) 若F 为线段PE 的中点, 求证: BF 平面PCD; (2) 若AB ⊥平面PAD, 求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值. B C D A P E F
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3. 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况, 从合同保险期限届满 的保单中随机抽取1000 份, 记录并整理这些保单的索赔情况, 获得数据如 下表: 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设: 一份保单的保费为0.4 万元; 前三次索赔时, 保险公司每次赔偿0.8 万元; 第四次索赔时, 保险公司赔偿0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率. (1) 估计一份保单索赔次数不少于2 的概率; (2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. ①记X 为一份保单的毛利润, 估计X 的数学期望EX; ②如果无索赔的保单的保费减少4%, 有索赔的保单的保费增加20%, 试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中EX 估计值 的大小. (结论不要求证明) 1197
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4. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶 点的四边形是边长为2 的正方形. 过点(0, t) (t > √ 2) 且斜率存在的直线 与椭圆E 交于不同的两点A, B, 过点A 和C (0, 1) 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D. (1) 求椭圆E 的方程及离心率; (2) 若直线BD 的斜率为0, 求t 的值.
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5. 设函数f (x) = x + k ln (1 + x) (k̸ = 0), 直线l 是曲线y = f (x) 在点 (t, f (t)) (t > 0) 处的切线. (1) 当k = −1 时, 求f (x) 的单调区间; (2) 求证: l 不经过点(0, 0); (3) 当k = 1 时, 设点A (t, f (t)) (t > 0), C (0, f (t)), O (0, 0) , B 为l 与y 轴的交点, S△ACO 与S△ABO 分别表示△ACO 与△ABO 的面积. 是否 存在点A 使得2S△ACO = 15S△ABO 成立? 若存在, 这样的点A 有几个? (参考数据: 1.09 < ln 3 < 1.10, 1.60 < ln 5 < 1.61, 1.94 < ln 7 < 1.95)
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6. 已知集合M = {(i, j, k, w) | i ∈{1, 2}, j ∈{3, 4}, k ∈{5, 6}, w ∈ {7, 8}, 且i + j + k + w 为偶数}. 给定数列A: a1, a2, · · · , a8 和序列Ω: T1, T2, · · · , Ts, 其中Tt = (it, jt, kt, wt) ∈M (t = 1, 2, · · · , s), 对数列A 进行如下变换: 将A 的第i1, j1, k1, w1 项均加1, 其余项不变, 得到的数列 记作T1 (A); 将T1 (A) 的第i2, j2, k2, w2 项均加1, 其余项不变, 得到的数 列记作T2T1 (A); · · · ; 以此类推, 得到数列Tx · · · T2T1 (A), 简记为Ω(A). (1) 给定数列A: 1, 3, 2, 4, 6, 3, 1, 9 和序列Ω: (1, 3, 5, 7), (2, 4, 6, 8), (1, 3, 5, 7), 写出Ω(A); (2) 是否存在序列Ω, 使得Ω(A) 为a1 + 2, a2 + 6, a3 + 4, a4 + 2, a5 + 8, a6 + 2, a7 + 4, a8 + 4? 若存在, 写出一个Ω, 若不存在, 说明理由; (3) 若数列A 的各项均为正整数, 且a1 + a3 + a5 + a7 为偶数, 求证: “存 在序列Ω, 使得Ω(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = a7 + a8”. 1198
原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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