本卷为官方高考数学真题（2024年天津），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, 则A ∩B =
(
) 5分
A. {1, 2, 3, 4}
B. {2, 3, 4}
C. {2, 4}
D. {1}
-
2. 已知a, b ∈R, 则“a3 = b3”是“3a = 3b”的
(
) 5分
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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3. 下列图中, 相关性系数最大的是
(
)
(A)
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x
y
O
(B)
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•• •
x
y
O
(C)
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x
y
O
(D)
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•
x
y
O 5分
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4. 下列函数是偶函数的为
(
)
ex + x2
x2 + 1
ex + x
x2 + 1 5分
A. y = ex −x2
B. y = cos x −x2
C. y = ex −x
D. y = sin x −x
-
5. 设a = 4.2−0.2, b = 4.20.2, c = log4.2 0.2, 则a, b, c 的大小关系为
(
) 5分
A. a < b < c
B. a < c < b
C. c < b < a
D. c < a < b
-
6. 已知m, n 是两条直线, α 是一个平面. 下列命题正确的是
(
)
α, m ⊥n, 则n ⊥α
α, n ⊥α, 则m ⊥n 5分
A. 若m
B. 若m ⊥α, m ⊥n, 则n ⊥α
C. 若m
D. 若m ⊥α, n ⊥α, 则m ⊥n
-
7. 已知函数f(x) = 3 sin
(
ωx + π
3
)
(ω > 0) 的最小正周期为π, 则f(x) 在
区间
[
−π
12, π
6
]
上的最小值为
(
)
√
3
2
2
2 5分
A. −3
B. −3
C. 0
D. 3
-
8. 双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 点P 在
双曲线右支上, 直线PF2 的斜率为2. 若△PF1F2 是直角三角形, 且面积
为8, 则双曲线的方程为
(
)
2 −y2
8 = 1 (B) x2
4 −y2
8 = 1
8 −y2
2 = 1
8 −y2
4 = 1 5分
A. x2
C. x2
D. x2
-
9. 在如图五面体中, 棱AD, BE, CF 互相平行, 且两两之间的距离均为1. 若
AD = 1, BE = 2, CF = 3, 则该五面体的体积为
(
)
A
D
C
B
E
F
(A)
√
3
6
(B)
√
3
4 + 1
2
(C)
√
3
2
√
3
4
−1
2 5分
D. 3
-
1. i 是虚数单位, 复数(
√
5 + i)(
√
5 −2i) =
. 5分
-
2. 在
(x2
3 + 3
x2
)6
的展开式中, 常数项为
. 5分
-
3. 已知圆(x −1)2 + y2 = 25 的圆心与抛物线y2 = 2px 的焦点F 重合, 且两
曲线在第一象限的交点为A, 则原点到直线AF 的距离为
. 5分
-
4. 某校组织学生参加农业实践活动, 期间安排了劳动技能比赛, 比赛共5 个
项目, 分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建, 规定
每人参加其中3 个项目. 假设每人参加每个项目的可能性相同, 则甲同学
参加“整地做畦”项目的概率为
; 已知乙同学参加的3 个项目中有“整
地做畦”, 则他还参加“田间灌溉”项目的概率为
. 5分
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5. 已知正方形ABCD 的边长为1, # »
DE = 2# »
EC. 若# »
BE = λ# »
BA + µ# »
BC, 其
中λ, µ 为实数, 则λ + µ =
; 设F 是线段BE 上的动点, G 为线段
AF 的中点, 则# »
AF · # »
DG 的最小值为
. 5分
-
6. 设a ∈R, 函数f(x) = 2
√
x2 −ax −|ax −2| + 1. 若f(x) 恰有一个零点,
则a 的取值范围是
. 5分
-
1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知cos B =
9
16,
3.
(1) 求a 的值;
(2) 求sin A 的值;
(3) 求cos(B −2A) 的值.
-
2. 如图, 在四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 ⊥平面ABCD, AB ⊥AD,
AB
DC, AB = AA1 = 2, AD = DC = 1, M, N 分别为DD1, B1C1 的
中点.
(1) 求证: D1N
平面CB1M;
(2) 求平面CB1M 与平面BB1C1C 夹角的余弦值;
(3) 求点B 到平面CB1M 的距离.
B
C
D
A
A1
N
M
D1
C1
B1
1205
-
3. 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为1
2. 左顶点为A, 下顶点为
B, 点C 为线段OB 的中点(O 为原点), △ABC 的面积为3
√
3
2 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点C 的动直线与椭圆相交于P, Q 两点. 在y 轴上是否存在点T,
使得# »
TP · # »
TQ ⩽0 恒成立? 若存在, 求出点T 纵坐标的取值范围; 若不存
在, 请说明理由.
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4. 已知{an} 为公比大于0 的等比数列, 其前n 项和为Sn, 且a1 = 1,
S2 = a3 −1.
(1) 求{an} 的通项公式及Sn;
(2) 设数列{bn} 满足bn =
{
k,
n = ak,
bn−1 + 2k,
ak < n < ak+1,
其中k ∈N∗.
①求证: 当n = ak+1 (k ∈N∗, 且k > 1) 时, bn−1 ⩾akbn;
②求
Sn
∑
i=1
bi.
-
5. 已知函数f(x) = x ln x.
(1) 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若f(x) ⩾a(x −√x) 对任意x ∈(0, +∞) 成立, 求实数a 的值;
(3) 若x1, x2 ∈(0, 1), 求证: |f (x1) −f (x2)| ⩽|x1 −x2|
1
2 .
1206
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